Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2.6 Optimalizace

125

pomocí druhé derivace se přesvědčíme, že zde má účelová funkce minimum:

f

00(t) = 3712 > 0.

Určíme vzdálenost plavidel v tomto čase:

p

f (t0) = 10

√

29

.

= 53, 85(km).

Parník a jachta budou mít nejmenší vzdálenost 53, 85km za 3 hodiny 7 minut a 30 sekund
od vyplutí.

126

Diferenciální počet

Shrnutí

V kapitole o optimalizaci jsme se věnovali důležitému praktickému problému – nalezení
optimální hodnoty funkce. Definovali jsme:

• lokální maximum (resp. minimum) funkce:

největší (resp. nejmenší) hodnota,

které funkce nabývá na jistém intervalu,

• lokální extrém:

lokální maximum nebo minimum,

• absolutní nebo globální maximum (resp. minimum) funkce na množině M :

nej-

větší (resp. nejmenší) hodnota, které funkce nabývá na množině M ;

ukázali jsme, jak nalezneme body, ve kterých může nastat lokální extrém, a jak roz-
hodnout, zda extrém skutečně nastane:

• nutná podmínka pro lokální extrém:

má-li f v bodě x0 lokální extrém, je buď

f 0(x0) = 0 (tedy x0 je stacionární bod funkce f ), nebo f

0(x

0) neexistuje,

• postačující podmínka pro lokální maximum (resp. minimum):

f 00(x0) < 0

(resp. f 00(x0) > 0) ve stacionárním bodě funkce f ,

• jiná postačující podmínka pro lokální maximum (resp. minimum):

pro x < x0

funkce f roste a zároveň pro x > x0 klesá (resp. pro x < x0 funkce f klesá a
zároveň pro x > x0 funkce f roste),

při hledání globálních extrémů funkce na intervalu je třeba nalézt všechny body lo-
kálních extrémů funkce a funkční hodnoty v nich porovnat s hodnotami v krajních
bodech intervalu; největší z těchto hodnot je globální maximum, nejmenší je globální
minimum;

ukázali jsme postup řešení praktických optimalizačních úloh, který spočívá