Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 x).
Je-li integrand tvaru součinu sudých mocnin sinů a kosinů (tedy nejedná se o zlomek),
můžeme ho zjednodušit pomocí součtových vzorců
sin
2 x =
1
2
(1 − cos 2x),
cos
2 x =
1
2
(1 + cos 2x).
160
Integrální počet
Příklad 3.26.
Z
sin
4 x cos2 x dx =
Z
1
2
(1 − cos 2x)
2
1
2
(1 + cos 2x) dx =
=
1
8
Z
(1 − 2 cos 2x + cos
2 2x)(1 + cos 2x) dx =
=
1
8
Z
1 − cos 2x − cos
2 2x + cos3 2x dx =
=
1
8
Z
1 − cos 2x −
1
2
(1 + cos 4x)
dx +
1
16
Z
(1 − sin
2 2x) 2 cos 2x dx =
=
ve druhém integrálu :
t = sin 2x
dt = 2 cos 2x dx
=
1
16
x −
1
16
sin 2x −
1
64
sin 4x+
+
1
16
Z
(1 − t
2) dt =
1
16
x −
1
16
sin 2x −
1
64
sin 4x +
1
16
t −
1
3
t
3
+ c =
=
1
16
x −
1
16
sin 2x −
1
64
sin 4x +
1
16
sin 2x −
1
48
sin
3 2x + c =
=
1
16
x −
1
64
sin 4x −
1
48
sin
3 2x + c.
Pro výpočet neurčitých integrálů lze použít tyto Maplety:
Primitivní funkce, Metoda per partes, Substituční metoda.
Shrnutí
V této kapitole jsme zavedli pojem
• primitivní funkce k funkci f na intervalu I:
funkce F , pro kterou platí F 0(x) =
= f (x) na intervalu I,
• neurčitý integrál z funkce f :
R f (x) dx = F (x) + c – systém všech primitivních
funkcí k funkci f .
Dále jsme se věnovali výpočtu neurčitého integrálu.
3.2 Integrační metody
161
Následující vztahy snadno odvodíme na základě vztahů pro derivování. Pro zjednodu-
šení nebudeme psát integrační konstantu.
Vzorce pro výpočet neurčitých integrálů
R 0 dx
= c
R 1 dx
= x
R xk dx
= x
k+1
k + 1
, k 6= −1
R
1
x dx
= ln |x|, x 6= 0
R sin x dx
= − cos x
R cos x dx
= sin x
R
1
sin
2 x
dx
= − cotg x
R
1
cos2 x
dx
= tg x
R ex dx
= ex
R ax dx
=
ax
ln a
, a > 0, a 6= 1