Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
+ t =
t2 − 2t + 3
2(t − 1)
.
Z
1
x
√
x2 + 2x + 3
dx = 2
Z
1
t2 − 3
dt =
√
3
3
Z
1
t −
√
3
−
1
t +
√
3
dt =
=
√
3
3
ln
t −
√
3
t +
√
3
+ c =
√
3
3
ln
x +
√
3 −
√
x2 + 2x + 3
x −
√
3 −
√
x2 + 2x + 3
+ c.
Poznámka:
V integrálu tvaru
Z
1
√
ax2 + bx + c
dx
doplníme výraz pod odmocninou na úplný čtverec a jednoduchou substitucí převedeme
přímo na některý integrační vzorec.
Příklad 3.21.
Vypočteme integrál
Z
1
√
3 − 2x − 5x2
dx.
Řešení. Upravíme kvadratický trojčlen pod odmocninou:
3 − 2x − 5x
2 = −5
x
2 +
2
5
x −
3
5
= −5
"
x +
1
5
2
−
16
25
#
=
16
5
"
1 −
5
4
x +
1
4
2
#
.
Tedy
Z
1
√
3 − 2x − 5x2
dx =
√
5
4
Z
1
q
1 −
5
4 x +
1
4
2
dx =
=
√
5
4
4
5
arcsin
5
4
x +
1
4
+ c =
√
5
5
arcsin
5
4
x +
1
4
+ c.
D) Pro integrály tvaru
R R x,
√
a2 − x2
dx
R R x,
√
a2 + x2
dx
R R x,
√
x2 − a2
dx
je možné užít
trigonometrické
substituce
x = a sin t, x = a cos t,
x = a tg t, x = a cotg t,
x =
a
cos t x =
a
sin t .
Příklad 3.22.
Vypočítáme integrál
Z
1
(9 + x2)
√
9 + x2
dx.
3.2 Integrační metody
157
Řešení. Položíme x = 3 tg t pro t ∈ (−
π
2 ,
π
2 ). Potom
dx =
3
cos2 t
dt,
9 + x
2 = 9 + 9
sin
2 t
cos2 t
= 9
cos2 t + sin
2 t
cos2 t
=
9
cos2 t
.
Tedy
Z
1
(9 + x2)
√
9 + x2
dx =
Z
cos2 t
9
√
cos2 t
3
3
cos2 t
dt =
=
pro
t ∈
−
π
2
,
π
2
je
cos t > 0
=
1
9
Z
cos t dt =
1
9
sin t + c = ∗
– výsledek je třeba vyjádřit v proměnné x.
Je
tg
2 t =
sin
2 t
cos2 t
=
sin
2 t
1 − sin
2 t
,
odtud
sin
2 t =
tg2 t
1 + tg2 t
,
tedy
sin t =
tg t
p
1 + tg2 t
(pro
t ∈
−
π
2
,
π
2
mají sin a tg stejná znaménka).
Závěrem
∗ =
1
9
sin t + c =
1
9
tg t
p
1 + tg2 t
+ c =
1
9
x
√
9 + x2
+ c.
Substituci x = 2 sin t jsme použili v příkladu 3.15.