Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Máme vypočítat integrál
Z
sin
3 x
1 + cos x
dx.
Řešení. Integrovaná funkce je lichá v sinu, zavedeme substituci cos x = t:
Z
sin
3 x
1 + cos x
dx =
Z
sin
2 x
1 + cos x
sin x dx =
Z
1 − cos2 x
1 + cos x
sin x dx =
=
t = cos x
dt = − sin x dx
= −
Z
1 − t2
1 + t
dt = −
Z
(1 − t) dt = −t +
1
2
t
2 + c =
3.2 Integrační metody
159
= c − cos t +
1
2
cos
2 t.
Jistě jsme mohli použít také univerzální goniometrickou substituci, ovšem výpočet by
byl podstatně komplikovanější:
Z
sin
3 x
2 + cos x
dx =
Z
t3
(1 + t2)3
2 + 1 − t
2
1 + t2
2
1 + t2
dt =
Z
2t3
(1 + t2)3(3 + t2)
dt,
v rozkladu na parciální zlomky bychom museli předpokládat čtyři zlomky příslušné
komplexním kořenům, tedy 8 neurčitých koeficientů, a pro integraci bychom museli
použít nejméně dvakrát rekurentní vzorec.
B) Je-li R(sin x, cos x) sudá v sinu a kosinu současně, tedy platí-li
R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x),
použijeme substituci
t = tg x.
Potom sin x =
t
√
1 + t2
, cos x =
1
√
1 + t2
a dx =
1
1 + t2
dt.
Protože je příslušná racionální funkce sudá v sinu a kosinu současně, odmocniny se při
výpočtu odstraní.
Příklad 3.25.
Máme vypočítat integrál
Z
sin 2x
sin
2 x + 2 cos2 x
dx.
Řešení. Protože sin 2x = 2 sin x cos x, má integrand požadovanou vlastnost. Dostaneme:
Z
2 sin x cos x
sin
2 x + 2 cos2 x
dx =
Z
2
t
√
1 + t2
1
√
1 + t2
t2
1 + t2
+ 2
1
1 + t2
1
1 + t2
dt =
Z
2t
(1 + t2)(2 + t2)
dt =
=
Z
2t
1 + t2
−
2t
2 + t2
dt = ln(1 + t
2) − ln(2 + t2) + c = ln
1 + tg2 x
2 + tg2 x
+ c =
= ln
cos2 x + sin
2 x
2 cos2 x + sin
2 x
+ c = c − ln(1 + cos