Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad:
D = {h0,

1
4 i, h

1
4 ,

2
3 i, h

2
3 , 1i}, {

1
8 ,

1
4 ,

3
4 }

 je dělení intervalu h0, 1i, přičemž ν(D) = 5

12 .

168

Integrální počet

Obr. 3.2: Dělení intervalu h0, 1i

Integrální součet

Nechť f : ha, bi → R je funkce, D dělení intervalu ha, bi. Pak číslo

S(D, f ) =

n

X

i=1

f (ξi)(xi − xi−1)

nazveme integrálním součtem příslušným funkci f s dělením D.

Příklad:

Nechť f (x) = x,

D dělení intervalu h0, 1i

z předchozího příkladu.

Potom

S(D, f ) = f ( 1

8 ) · (

1
4 )+

+f (

1
4 ) · (

2
3 −

1
4 ) + f (

3
4 ) · (1 −

2
3 ) =

=

1
8 ·

1
4 +

1
4 ·

5

12 +

3
4 ·

1
3 =

37
96 .

Obr. 3.3: Integrální součet funkce f (x) = x

Jestliže bude dělení intervalu dostatečně „ jemnéÿ, tedy bude-li se ν(D) blížit k nule,

mohou se zřejmě integrální součty stále více blížit k obsahu „křivočarého lichoběžníkuÿ
– obrazce, který je shora omezen grafem nezáporné funkce, zdola osou x a po stranách
přímkami x = a, x = b. Jestliže tedy existuje číslo J , vyjadřující obsah takové plochy,
musí se dát s libovolnou přesností aproximovat integrálními součty. Tato myšlenka, přesně
formulovaná, bude obsahem následující definice.

Určitý (Riemannův) integrál

Definice 3.27. Nechť f : ha, bi → R je ohraničená funkce. Řekneme, že f je integrova-
telná (integrabilní, integrace schopná) na intervalu ha, bi, existuje-li číslo J ∈ R tak, že
ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé dělení D intervalu ha, bi, jehož norma
ν(D) < δ, platí

|S(D, f ) − J | < ε.

3.3 Určitý integrál

169

Číslo J nazýváme určitým (Riemannovým) integrálem funkce f od a do b a píšeme

J =

b

Z

a

f (x) dx.