Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
S(D, c) =
n
X
i=1
c(xi − xi−1) = c(b − a),
tedy pro libovolné dělení D je
|S(D, c) − c(b − a)| = 0 < ε.
172
Integrální počet
Odhad určitého integrálu, věta o střední hodnotě
Věta 3.32. (O střední hodnotě integrálního počtu)
Nechť je funkce f integrovatelná na intervalu ha, bi a nechť m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ ha, bi.
Potom platí
m(b − a) ≤
Z
b
a
f (x) dx ≤ M (b − a)
neboli
m ≤
1
b − a
Z
b
a
f (x) dx ≤ M
a existuje číslo µ ∈ hm, M i tak, že platí
µ =
1
b − a
Z
b
a
f (x) dx.
Je-li f spojitá na ha, bi, pak ∃ ξ ∈ ha, bi tak, že
f (ξ) =
1
b − a
Z
b
a
f (x) dx.
Číslo µ se nazývá (integrální) střední hodnota funkce f na intervalu ha, bi. Geome-
trický význam střední hodnoty je patrný z následujícího obrázku – obsah křivočarého
lichoběžníka {(x, y)|x ∈ ha, bi, 0 ≤ y ≤ f (x)} (červeně) je roven obsahu obdélníka o
rozměrech b − a a µ (modře):
Obr. 3.6: Integrální střední hodnota
Příklad 3.33. Odhadněme
Z
1
0
f (x) dx,
kde
f (x) =
xx pro x > 0,
1
pro x = 0.
Řešení. Funkce f má na intervalu h0, 1i nejvýš jeden bod nespojitosti (limitou prověříme,
že je spojitá i v x = 0), je zde integrovatelná.
3.3 Určitý integrál
173
Najděme maximum a minimum
na h0, 1i:
f
0(x) = xx(ln x + 1) (x > 0);
f
0(x) = 0 pro x =
1
e
.
f (0) = 1, f (1/e) = e
−1/e, f(1) = 1.
Platí tedy
e
−1/e(
.
= 0, 692) ≤
Z
1
0
f (x) dx ≤ 1.
(Maple vypočítá
1
R
0
f (x) dx = 0,7834305107.)
Obr. 3.7: f (x) = xx na intervalu h0, 1i
Fundamentální věta
Mějme graf nezáporné funkce f (viz obr. 3.8) a vyšetřujme funkci F , která každému x
přiřazuje obsah světlešedě vybarvené plochy, tedy