Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
Z
1
0
t
et
e
t dt =
t2
2
1
0
=
1
2
.
Příklad 3.43. Ukažme, že pro integrovatelnou funkci platí
Z
π
2
0
f (sin x) dx =
Z
π
2
0
f (cos x) dx.
Řešení. Využijeme vztahu cos t = sin
π
2 − t
.
Do prvního integrálu zaveďme substituci x = g(t) =
π
2 − t. Pro x = 0 je t =
π
2 , pro x =
π
2
je t = 0. Funkce g je v intervalu h0,
π
2 i klesající, spojitá i se svou derivací g
0(x) = −1. Je
možno použít větu o substituci, a platí tedy
Z
π
2
0
f (sin x) dx =
Z
0
π
2
f
h
sin
π
2
− t
i
(−1)dt =
Z
π
2
0
f
h
sin
π
2
− t
i
dt =
=
Z
π
2
0
f (cos t) dt
a zadaná rovnost je splněna.
K výpočtu určitého integrálu lze použít tento maplet. Zmázorní se zde i plocha, jejíž
obsah (opatřený příslušným znaménkem) pomocí tohoto integrálu počítáme.
178
Integrální počet
3.4
Aplikace určitého integrálu
Obsah rovinné oblasti
Přímo z definice určitého integrálu plyne, že plošný obsah P rovinné oblasti omezené
čarami y = 0, x = a, x = b, kde a < b, a grafem kladné funkce y = f (x) vypočítáme
pomocí určitého integrálu
P =
Z
b
a
f (x) dx.
jak jsme mohli vidět v mapletu na konci předchozího odstavce.
Příklad 3.44. Vypočtěme obsah kruhu x2 + y2 ≤ r2.
Řešení. Platí
P = 4
Z
r
0
√
r2 − x2 dx =
x = r sin t
x = 0 ⇒ t = 0
dx = r cos t dt x = r ⇒ t =
π
2
= 4
Z
π
2
0
r
2 cos2 t dt =
= 2r
2
Z
π
2
0
(1 + cos 2t) dt = 2r
2
t +
1
2
sin 2t
π
2
0
= πr
2.
Obsah části roviny omezené shora grafem nezáporné funkce f a zdola grafem nezá-
porné funkce g na intervalu ha, bi zřejmě vypočteme jako
R b
a (f (x)−g(g) dx.; stejné pravidlo
ovšem platí i pro funkce, které nejsou na celém intervalu ha, bi nezáporné:
Je-li c konstanta, která je menší než minimum funkčních hodnot funkce g („spodní
funkceÿ) na intervalu ha, bi, můžeme grafy obou funkcí posunout o tuto konstantu v
kladném směru osy y - obsah části roviny mezi grafy se nezmění a obě funkce již budou
na tomto intervalu nezáporné: