Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 3.29. Ukažme, že Dirichletova funkce χ definovaná předpisem
χ(x) =
1 pro x racionální
0 pro x iracionální
není integrovatelná na žádném intervalu.
Buď D1 libovolné dělení intervalu ha, bi takové, že ξi jsou racionální čísla. Pak
S(D1, χ) =
n
X
i=1
1 · (x1 − xi−1) = b − a.
Buď D2 libovolné dělení intervalu ha, bi takové, že ξi jsou iracionální čísla. Pak
S(D2, χ) =
n
X
i=1
0 · (x1 − xi−1) = 0.
Předpokládejme, že existuje J . Zvolme ε =
1
2 (b − a), pak existuje δ > 0 tak, že pro každé
dělení s normou ν(D) < δ je |S(D, χ) − J | < ε, takže platí
b − a = |S(D1, χ) − S(D2, χ)| = |S(D1, χ) − J − (S(D2, χ) − J )| ≤
≤ |S(D1, χ) − J | + |S(D2, χ) − J | < ε + ε = b − a
a to je spor.
3.3 Určitý integrál
171
Vlastnosti určitého integrálu
Věta 3.30. Platí:
Z
b
a
0 dx = 0,
Z
b
a
dx = b − a,
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx
pro
c ∈ ha, bi,
f (x) ≤ g(x) na ha, bi
⇒
Z
b
a
f (x) dx ≤
Z
b
a
g(x) dx,
Z
b
a
f (x) dx
≤
Z
b
a
|f (x)| dx,
Z
b
a
kf (x) dx = k
Z
b
a
f (x) dx
∀k ∈ R,
Z
b
a
(f (x) ± g(x)) dx =
Z
b
a
f (x) dx ±
Z
b
a
g(x) dx.
Označíme-li jako S (resp. L) sudou (resp. lichou) funkci, je
Z
a
−a
S(x) dx = 2
Z
a
0
S(x) dx;
Z
a
−a
L(x) dx = 0.
Důkaz tvrzení v předchozí větě se provede bezprostředně užitím definice integrálu pomocí integrálních součtů; je analogický
postupu v následujícím příkladu.
Příklad 3.31. Ukážeme platnost poněkud obecnějšího případu druhého vztahu ve větě:
Z
b
a
c dx = c(b − a).
Buď D libovolné dělení intervalu ha, bi. Potom pro libovolný výběr čísel ξi pro příslušný
integrální součet platí: