Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
t)
e
R
1
ln x dx,
u)
1
R
0
x3 e2x dx,
v)
π
2
R
0
e2x sin x dx,
x)
π
3
R
π
4
x
sin
2 x
dx,
y)
√
3
R
0
x arctg x dx.
3.4 Aplikace určitého integrálu
185
2. Vypočítejte
Z
3
0
f (x) dx,
je-li
f (x) =
1 − x
pro x ∈ h0, 1i,
0
pro x ∈ h1, 2i,
(2 − x)2 pro x ∈ h2, 3i.
3. Vypočítejte následující integrály ([x] je celá část x)
a)
1
R
−1
sgn x dx, b)
5
R
2
(−1)[x] dx,
c)
3
R
−2
[x] dx,
d)
2
R
0
[ex] dx.
4. Vypočítejte
a)
x
R
2
√
5 + 7t2 dt
0
, b)
1
R
x
sin
3 t dt
0
, c)
x
R
−x
3
√
t4 + 1 dt
0
.
5. Část roviny nad osou x a pod grafem funkce y = sin x mezi x = 0 a x = π je
rozdělena na dvě části přímkou x = c. Najděte c, pro které platí, že obsah levé části
je roven třetině obsahu pravé části.
6. Najděte k ≥ 0 pro které platí
2
R
0
xk dx =
2
R
0
(2 − x)k dx.
7. Najděte plošný obsah částí roviny omezených čarami o rovnicích:
a)
y = 6x − x2, y = 0,
b) y = x2 − 2x, y = x,
c)
x + y = 2, y = 4x − x2 − 2,
d) y = x2, y2 = x,
e)
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14,
f)
y = 2x2, y = x2, y = 1,
g)
y = x3, y = 4x,
h) xy = 4, x + y = 5,
i)
x = 0, x =
1
2 , y = 0, y = x e
−2x,
j)
y = ex, y = e−x, x = ln 2,
k)
x =
π
2 , x = π, y = 0, y = x cos
x
3 ,
l)
y = ln x, y = ln
2 x,
m) y = x, y = x + sin
2 x, x = 0, x = π, n) y = e−x sin x, y = 0, x ∈ h0, πi.
8. Vypočtěte plošný obsah části roviny ohraničené parabolou y = x2 − 6x + 8 a jejími
tečnami v bodech A = [1, 3] a B = [4, 0].
9. Vypočtěte objem těles, která vzniknou rotací částí roviny popsaných danými nerov-