Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Přitom zadaný integrál konverguje, konverguje-li každý z integrálů ve výrazu napravo.
Obr. 3.16: Obecný nevlastní integrál
Příklad 3.54.
Z
∞
−∞
arctg x
1 + x2
dx =
Z
0
−∞
arctg x
1 + x2
dx +
Z
∞
0
arctg x
1 + x2
dx =
3.5 Nevlastní integrály
191
lim
a→−∞
Z
0
a
arctg x
1 + x2
dx + lim
b→∞
Z
b
0
arctg x
1 + x2
dx =
arctg x = t
x = 0 ⇒ t = 0
1
1+x2 dx = dt
=
lim
a→−∞
Z
0
arctg a
t dt + lim
b→∞
Z
arctg b
0
t dt =
1
2
0 −
−
π
2
2
+
π
2
2
− 0
= 0.
Shrnutí
V této kapitole jsme zobecnili pojem určitého integrálu na případy, kdy buď integrační
interval, nebo integrand je neohraničený; zavedli jsme:
• nevlastní integrál z funkce f na neohraničeném intervalu ha, ∞) resp. (−∞, ai:
∞
R
a
f (x) dx = lim
ξ→∞
ξ
R
a
f (x) dx
resp.
a
R
−∞
f (x) dx = lim
ξ→−∞
a
R
ξ
f (x) dx,
• nevlastní integrál z funkce f , která je neohraničená v okolí horní meze b resp.
dolní meze a:
b
R
a
f (x) dx = lim
ξ→b−
ξ
R
a
f (x) dx
resp.
b
R
a
f (x) dx = lim
ξ→a+
b
R
ξ
f (x) dx,
přitom říkáme, že
• nevlastní integrál má singularitu v horní mezi:
je-li horní mez nevlastního in-
tegrálu ∞ nebo je-li integrand v okolí horní meze integrálu neohraničená funkce,
• nevlastní integrál má singularitu v dolní mezi:
je-li dolní mez nevlastního
integrálu −∞ nebo je-li integrand v okolí dolní meze integrálu neohraničená
funkce.
Má-li integrand v integračním intervalu (a, b) (a může být rovno −∞ a b může být
rovno ∞) konečně mnoho bodů nespojitosti, v jejichž okolí je neohraničenou funkcí,
vyjádříme daný integrál jako součet integrálů přes dílčí intervaly tak, aby jednotlivé
integrály měly singularitu pouze v jedné mezi. Jestliže všechny tyto integrály kon-
vergují, je daný nevlastní integrál roven jejich součtu; v opačném případě diverguje.