Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

197

V řadě

∞

P

n=1

an = a1 + a2 + · · · + ap−1 + ap + · · · vynechejme prvních p členů. Dostaneme

řadu

∞

P

n=p+1

an = ap+1 + ap+2 + · · · , kterou nazýváme zbytek po p-tém členu řady

∞

P

n=1

an.

Platí:

Věta 4.11. Nechť p ∈ N. Řady

∞

P

n=1

an,

∞

P

n=p+1

an současně buď konvergují nebo divergují.

Jestliže konvergují, pak platí

∞

X

n=1

an = a1 + · · · + ap +

∞

X

n=p+1

an.

Z této věty plyne, že z hlediska konvergence nezáleží na tom, od kterého indexu začneme
sečítat.

Kriteria konvergence

V předcházejících příkladech jsme většinou zkoumali konvergenci daných řad přímo z de-
finice tak, že jsme dokázali existenci (popř. neexistenci) vlastní limity posloupnosti čás-
tečných součtů (sn). Výhodou tohoto postupu je, že určením limity posloupnosti (sn)
je zároveň určen součet dané řady. K tomu však potřebujeme znát jednoduchý expli-
citní vzorec pro sn, což se podaří jen ve velmi jednoduchých případech. Proto ve většině
případů postupujeme jinak: Vyšetříme nejdříve konvergenci dané řady a její součet pak
určíme přibližně. Vztahy, pomocí kterých vyšetřujeme konvergenci řad, se nazývají kri-
teria konvergence. Základním takovým kriteriem je jistě nutná podmínka konvergence
řady 4.3; další kriteria jsou formulována pro následující typ řad:

Definice 4.12. Řada

∞

P

n=1

an se nazývá řadou s nezápornými členy, je-li an ≥ 0 pro

všechna n ∈ N.

Tyto řady mají některé specifické vlastnosti:

a) posloupnost jejich částečných součtů {sn} je neklesající, neboť

sn+1 = sn + an+1 ≥ sn.

b) Je-li navíc tato posloupnost shora ohraničená, pak existuje vlastní limita lim

n→∞

sn, tj.

řada

∞

P

n=1

an je konvergentní.

Proto jsou řady s nezápornými členy buď konvergentní nebo divergují k ∞.