Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∞
P
n=0
an a
∞
P
n=0
bn rozumíme řadu
∞
P
n=0
cn,
kde
cn = a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + · · · + anb0.
204
Nekonečné řady
Násobením daných dvou řad dostaneme tedy řadu
∞
X
n=0
cn = a0b0 + (a1b0 + a0b1) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) + · · · +
+(a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0) + · · ·
Napíšeme-li do tabulky všechny součiny aibk členů obou řad (i = 0, 1, 2, . . . , k =
= 0, 1, 2, . . . ), dostaneme schéma
a0b0 a1b0 a2b0 a3b0 . . .
a0b1 a1b1 a2b1 a3b1 . . .
a0b2 a1b2 a2b2 a3b2 . . .
a0b3 a1b3 a2b3 a3b3 . . .
..
.
..
.
..
.
..
.
. ..
Každý člen cn součinové řady je součtem členů ležících v „diagonáláchÿ tohoto schématu;
je součtem takových součinů aibk, že součet indexů i + k = n.
Pro takto definovaný součin řad platí
Věta 4.28. Jsou-li řady
∞
P
n=0
an = A a
∞
P
n=0
bn = B absolutně konvergentní, pak jejich
Cauchyovský součin je absolutně konvergentní řada se součtem A · B. Mimoto je absolutně
konvergentní i řada, která ze součinové řady vznikne odstraněním závorek a má stejný
součet.
Příklad 4.29. Máme vynásobit řady
∞
P
n=0
1
3n a
∞
P
n=0
(−1)n
1
3n .
Řešení. Řady jsou zřejmě absolutně konvergentní a platí
∞
X
n=0
1
3n
=
1
1 −
1
3
=
3
2
,
∞
X
n=0
(−1)
n 1
3n
=
1
1 +
1
3
=
3
4
.
Dále je
cn =
1
3
0
·
−
1
3
n
+
1
3
1
·
−
1
3
n−1
+ · · · +
1
3
n
·
−
1
3
0
=
=
1
3
n
· (−1)
n + (−1)n−1 + · + (−1)0 ;
tedy je-li n liché, tj. n = 2k + 1, je cn = 0, je-li n sudé, tj. n = 2k, je cn =
1
3n .
4.1 Číselné řady
205
Dostáváme
∞
X
n=0
cn =
∞
X
k=0
1
32k
to je geometrická řada s kvocientem q =
1
9 , tedy má součet
C =
1
1 −
1
9
=
9
8
=
3
2
·
3
4
.
Příklad 4.30. Ukážeme, že platí
∞
P
n=0
an