Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Základní kriterium, pomocí kterého se odvozují další (poněkud jednodušší pro vlastní
výpočty) je

198

Nekonečné řady

Věta 4.13. (Srovnávací kriterium)

Buďte

∞

P

n=1

an,

∞

P

n=1

bn řady s nezápornými členy a nechť platí an ≤ bn pro skoro všechna

n ∈ N (tedy všechna s výjimkou nejvýš konečně mnoha). Potom platí:

1. konverguje-li řada

∞

P

n=1

bn, konverguje i řada

∞

P

n=1

an;

2. diverguje-li řada

∞

P

n=1

an, diverguje i řada

∞

P

n=1

bn.

Příklad 4.14. Řada

∞

P

n=1

1

n 2n je konvergentní:

Platí

1

n 2n

≤ 1

2n , přičemž

∞

P

n=1

1

2n je konvergentní – je to geometrická řada s kvocientem

q =

1
2 < 1. Tedy zadaná řada je také konvergentní.

Srovnávací kriterium má velkou nevýhodu v tom, že k vyšetřované řadě musíme zvolit

nějakou jinou řadu, se kterou budeme srovnávat; je tedy předem nutné rozhodnout, jestli
budeme ukazovat konvergenci nebo divergenci. Výhodnější je pracovat přímo se členy
dané řady, tak jak to bude u dalších tří kriterií:

Věta 4.15. (Integrální kriterium)

Nechť f je funkce definovaná na intervalu h1, ∞) , která je na tomto intervalu nezáporná

a nerostoucí. Nechť an = f (n) pro n ∈ N. Potom řada

∞

P

n=1

an konverguje, právě když

konverguje nevlastní integrál

∞

R

1

f (x) dx.

Platnost kriteria demonstrujeme v následujících dvou obrázcích.

Obr. 4.1: Integrální kriterium

Obr. 4.2: Integrální kriterium

Hodnota nevlastního integrálu z funkce f (v obrázku černou barvou) udává obsah

plochy pod grafem funkce od jedné do nekonečna; součet příslušné nekonečné řady můžeme
znázornit jako obsah (zelené) plochy tvořené obdélníky se základnou délky jedna a výškou
rovnou funkční hodnotě v n.

4.1 Číselné řady

199

a) Nechť

∞

R

1

f (x) dx diverguje (první obrázek). Platí

sn =

n

X

k=1

ak =

n

X

k=1

f (k) ≥