Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

192

Integrální počet

Cvičení

1. Vypočítejte následující integrály:

a)

∞

R

√

2

1

x2 + 4

dx,

b)

− 1

2

R

−∞

1

x2 + x + 1

dx,

c)

∞

R

−∞

1

x2 + 2x + 2

dx,

d)

∞

R

1

1

x

√

x2 − 1

dx, e)

∞

R

0

x e−x

2

dx,

f)

∞

R

0

x ln x

(1 + x2)2

dx,

g)

∞

R

−∞

arctg2 x

1 + x2

dx,

h)

1

R

−1

x−

2
3

dx,

i)

4

R

0

1

(x − 2)2

dx,

j)

1

R

−1

1

√

1 − x2

dx,

k)

π

4

R

0

1

cos2 2x

dx,

l)

π

R

0

1

1 + 2 cos x

dx,

m)

π

2

R

0

tg x dx,

n)

1

R

1
2

1

√

1 − x2 arcsin x

dx.

2. Vypočítejte plošný obsah části roviny ohraničené křivkou y = e−

x
3

, x ≥ 0 a souřad-

nými osami.

3. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací části roviny ohraničené hyperbolou

xy = 1 a osou x (x ≥ 1) kolem osy x.

Výsledky

1. a)

π

4

− 1

2

arctg

√

2

2

, b)

π

√

3

, c) π, d)

π

2

, e)

1
2

, f)

π

2

√

2

, g)

π

3

12

, h) 9, i) diverguje, j) π, k) diverguje, l) diverguje, m) diverguje,

n) ln 3;

2. 3;

3. π.

193

4

Nekonečné řady

4.1

Číselné řady

V této části rozšíříme operaci sečítání v R i v C na nekonečně mnoho sčítanců – zavedeme
pojem nekonečné řady čísel a zodpovíme dvě základní otázky pro počítání s nekonečnými
číselnými řadami:

• Jak sečíst nekonečnou množinu čísel?

• Platí pro nekonečné součty podobné zákony jako pro konečné součty, zejména zákon

distributivní, asociativní a komutativní?

Nejdříve zavedeme potřebné pojmy – zobecníme pojem geometrické řady, který je znám ze
střední školy. Postup použitý při určení jejího součtu, tj. utvoření tzv. částečných součtů
a provedení limitního přechodu je návodem pro obecnou definici.

Základní pojmy

Definice 4.1. Nechť je dána číselná posloupnost ( an )

∞
n=1.

1. Nekonečnou řadou (nebo jen řadou )nazýváme symbol

∞

X

n=1

an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·

2. Číslo an se nazývá n-tý člen nekonečné řady.