Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

3. Posloupnost částečných součtů nekonečné řady

∞

P

n=1

an je posloupnost

( sn )

∞
n=1 ,

kde

sn =

n

X

k=1

ak = a1 + a2 + · · · + an.

4. Řekneme, že nekonečná řada

∞

P

n=1

an konverguje k číslu s, a píšeme

∞

P

n=1

an = s,

právě když lim

n→∞

sn = s.

Číslo s nazýváme součtem nekonečné řady

∞

P

n=1

an.

194

Nekonečné řady

5. Řekneme, že nekonečná řada

∞

P

n=1

an diverguje, jestliže diverguje posloupnost jejích

částečných součtů.

Příklad 4.2. Řada

∞

P

n=0

qn =

∞

P

n=1

qn−1, q ∈ R (C) se nazývá geometrická. Vyšetříme,

kdy řada konverguje.

Řešení.

1. Nechť q = 1. Pak sn = n,

lim

n→∞

sn = ∞, tj. řada

∞

P

n=1

1 je divergentní.

2. Nechť q = −1. Řada má tvar

∞

P

n=1

(−1)n−1 = 1 + (−1) + 1 + · · · + (−1)n−1 + · · · , takže

pro n-tý částečný součet platí

sn =

1 pro liché n,
0 pro sudé n.

Posloupnost (1, 0, 1, . . . ) nemá limitu, proto tato řada diverguje.

3. Nechť |q| 6= 1. Platí

sn = 1 + q + q

2 + · · · + qn−1

q · sn =

q + q

2 + · · · + qn−1 + qn

sn − q · sn = (1 − q) sn = 1 − q

n

Odtud plyne

sn =

1 − qn

1 − q

.

Uvažujme následující případy pro q ∈ R:

a) pro |q| < 1 je lim

n→∞

qn = 0, proto lim

n→∞

sn =

1

1−q ;

b) pro q > 1 je lim

n→∞

qn = ∞, proto lim

n→∞

sn = ∞;

c) pro q < −1 limita lim

n→∞

qn neexistuje.

Proto je geometrická řada pro |q| ≥ 1 divergentní a pro |q| < 1 konvergentní. V tomto
případě pro její součet platí:

∞

X

n=0

q

n =

1

1 − q

,

|q| < 1.

Stejné tvrzení platí i pro q ∈ C.

Poznámka: Obvykle se nazývá geometrickou řadou řada

∞

P

n=1

a qn−1; uvidíme dále, že naše