Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
π
3
;
6. všechna k;
7. a) 36, b)
9
2
, c)
9
2
, d)
1
3
, e)
343
3
, f)
2
3
(2 −
√
2), g) 8, h)
15
2
− 8 ln 2, i) 1
4
− 1
2e
, j)
1
2
, k)
3
4
(2
√
3 − 1)π +
9
2
(1 −
√
3), l) 3 − e,
m)
π
2
, n)
1
2
(1 + e−π );
8.
9
4
;
9. a)
1792
15
π, b) 18π, c)
π
2
2
, d) 8π, e)
π
4
(e4 − e−4), f)
π
4
(4 − π);
10. a)
3
2
√
37 +
1
4
ln(6 +
√
37), b)
√
6 −
√
2 +
1
2
ln
2
√
6+5
2
√
2+3
, c)
√
5
2
+
1
4
ln(2 +
√
5), d)
2
27
(
√
193 − 1), e)
33
16
, f)
√
1 + e2 −
√
2 +
+ ln
1+
√
2
1+
√
1+e2
1, g) 1 +
1
2
ln
3
2
, h) ln tg
3π
8
, i) ln
16
3
, j) 4 − 2
√
2;
11. a) 2
√
3, b) 2π2, c) 1 +
1
√
2
ln(1 +
√
2), d)
√
7 − 2 −
√
3 ln
√
7+
√
3
2
√
5
.
3.5
Nevlastní integrály
Určitý integrál jsme definovali pro případ konečného intervalu ha, bi a ohraničené funkce
f : ha, bi → R . V této kapitole podáme definici tak, že od těchto omezujících předpokladů
upustíme. Takový integrál se nazývá nevlastní na rozdíl od integrálů vlastních, o nichž
jsme hovořili doposud.
3.5 Nevlastní integrály
187
Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu
Definice 3.49. Buď f funkce definovaná v intervalu ha, ∞). Nechť je f integrovatelná v
intervalu ha, ξi pro každé ξ > a. Nechť existuje vlastní limita
lim
ξ→∞
Z
ξ
a
f (x) dx.
Pak tuto limitu nazýváme nevlastním integrálem funkce f v intervalu ha, ∞) (se sin-
gularitou v horní mezi) a píšeme
Z
∞
a
f (x) dx = lim
ξ→∞
Z
ξ
a
f (x) dx
a říkáme, že integrál
∞
R
a
f (x) dx konverguje. Je-li funkce f taková, že předchozí limita je
nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že integrál
∞
R
a
f (x) dx diverguje.
Podobně definujeme nevlastní integrál v intervalu (−∞, ai (se singularitou v dolní mezi)
pomocí limity:
Z
a
−∞
f (x) dx = lim
ξ→−∞
Z
a
ξ
f (x) dx,