Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
V = π
Z
r
−r
(r
2 − x2) dx = 2π
r
2x −
1
3
x
3
r
0
= 2πr
3(1 −
1
3
) =
4
3
πr
3.
Zde najdete maplet pro výpočet a znázornění objemu rotačního tělesa.
Délka rovinné křivky
Buď f funkce definovaná v intervalu ha, bi a mající zde spojitou derivaci f 0. Délku křivky
L, která je grafem funkce f v tomto intervalu, vypočítáme pomocí vztahu
L =
Z
b
a
p
1 + [f 0(x)]2 dx.
180
Integrální počet
Příklad 3.47. Určíme délku kružnice. Platí
f (x) =
√
r2 − x2,
x ∈ h0, ri,
f
0(x) = −
x
√
r2 − x2
,
L = 4
Z
r
0
r
1 +
x2
r2 − x2
dx = 4
Z
r
0
r
√
r2 − x2
dx;
Dostali jsme integrál z neohraničené funkce (v horní mezi není integrand definován).
Budeme postupovat tak, že místo čtvrtkružnice vyjdeme z osminy kružnice – viz obrázek:
Obr. 3.12: K př. 3.47
L = 8
Z
r
√
2
0
r
√
r2 − x2
dx =
=
x = r sin t
x = 0 ⇒ t = 0
dx = r cos t dt x =
r
√
2
⇒ t = π
4
=
= 8r
Z
π
4
0
r cos t
r cos t
dt = 8r
Z
π
4
0
dt = 8r [ t ]
π
4
0 = 2πr.
Je-li jednoduchá rovinná křivka určená parametrickými rovnicemi
x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi
tak, že funkce ϕ, ψ mají v intervalu hα, βi spojité derivace, pak její délka je dána vzorcem
L =
Z
β
α
p
[ϕ0(t)]2 + [ψ0(t)]2 dt.
Příklad 3.48. Vypočtěme délku jednoho oblouku cykloidy.
Řešení. Cykloida je křivka, kterou opisuje pevně zvolený bod na kružnici, jestliže se tato
kružnice kotálí po přímce (viz následující obrázek). Jeden oblouk cykloidy je její část mezi
těmi dvěma polohami zvoleného bodu, kdy leží současně na příslušné přímce:
Obr. 3.13: Cykloida
3.4 Aplikace určitého integrálu
181
Cykloida má parametrické rovnice
x = ϕ(t) = r (t − sin t), y = ψ(t) = r (1 − cos t), t ∈ h0, 2πi.