Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
definice není na újmu obecnosti.
Rozhodnutí o konvergenci (resp. o divergenci) dané řady usnadní často následující věta:
4.1 Číselné řady
195
Věta 4.3. (Nutná podmínka konvergence) Jestliže řada
∞
P
n=1
an konverguje, pak platí
lim
n→∞
an = 0.
Důkaz věty naleznete na konciu kapitoly v části Pro zájemce.
Je třeba si uvědomit, že opak této věty neplatí – splnění podmínky lim
n→∞
an = 0 neznamená
konvergenci řady, což ilustrujeme na následujícím příkladu:
Příklad 4.4. Ukážeme, že platí
∞
P
n=1
1
√
n = ∞:
sn = 1 +
1
√
2
+
1
√
3
+ · · · +
1
√
n
>
1
√
n
+
1
√
n
+ · · · +
1
√
n
= n ·
1
√
n
=
√
n;
tedy
s = lim
n→∞
sn ≥ lim
n→∞
√
n = ∞.
Odtud plyne, že zadaná řada diverguje, i když platí lim
n→∞
an = lim
n→∞
1
√
n = 0.
Vlastnosti číselných řad
Konvergentní řady mají některé vlastnosti konečných součtů; první taková vlastnost je
vlastnost analogická asociativnosti. Jak víme, platí pro konečný počet sčítanců asociativní
zákon, např:
a1 + a2 + a3 + a4 = (a1 + a2) + (a3 + a4).
Dejme do závorek v řadě
∞
P
n=1
an = a1 + a2 + · · · + an + · · · určité skupiny členů podle
tohoto schématu:
(a1 + a2 + · + an
1 )
|
{z
}
b1
+ (an
1+1 + an1+2 + · + an2 )
|
{z
}
b2
+ (an
2+1 + an2+2 + · + an3 )
|
{z
}
b3
+ · · · .
Přitom zachováváme původní pořadí členů řady; n1 < n2 < n3 < · · · jsou nějaká (libo-
volně zvolená) čísla. Tím vytvoříme řadu
b1 + b2 + b3 + · · · =
∞
X
k=1
bk,
kde
bk = an
k−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank .
Posloupnost částečných součtů této nové řady je vybraná posloupnost z posloupnosti
částečných součtů řady původní, která je podle předpokladu konvergentní - podle věty o
relativní limitě musí konvergovat také. Platí tedy