Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
n
1
f (x) dx,
s = lim
n→∞
sn ≥ lim
n→∞
n
Z
1
f (x) dx =
Z
∞
1
f (x) dx = ∞,
tedy řada diverguje.
b) Nechť
∞
R
1
f (x) dx konverguje (druhý obrázek). Potom je
sn = a1 +
n
X
k=2
ak = a1 +
n
X
k=2
f (k) ≤ a1 +
Z
n
1
f (x) dx,
s = lim
n→∞
sn ≤ a1 + lim
n→∞
n
Z
1
f (x) dx = a1 +
Z
∞
1
f (x) dx
a poslední integrál je podle předpokladu roven konečnému číslu – tedy řada konver-
guje.
Příklad 4.16. Vyšetříme konvergenci řady
∞
P
n=1
1
na , a > 0.
Položme f (x) =
1
xa pro x ∈ h 1, ∞), což je pro a > 0 klesající funkce. Platí
∞
R
1
dx
xa
=
lim
t→∞
t
R
1
x−a dx =
1
a−1
pro a > 1,
∞
R
1
dx
x
=
lim
t→∞
t
R
1
1
x dx = lim
t→∞
(ln t) = ∞,
∞
R
1
dx
xa
=
1
1−a
lim
t→∞
1
ta−1 − 1
= ∞
pro a ∈ (0, 1).
Proto daná řada konverguje pro a > 1 a diverguje pro a ∈ (0, 1 i.
Následující dvě kriteria se prověří srovnáním s geometrickou řadou a limitním přechodem:
Věta 4.17. (Odmocninové kriterium – Cauchyovo)
Nechť
∞
P
n=1
an je řada s nezápornými členy. Je-li
lim sup n
√
an < 1,
řada konverguje,
lim sup n
√
an > 1,
řada diverguje.
V případě lim sup n
√
an = 1 nelze o konvergenci řady tímto kriteriem rozhodnout.
200
Nekonečné řady
Věta 4.18. (Podílové kriterium – d’Alembertovo)
Nechť
∞
P
n=1
an je řada s nezápornými členy. Je-li
lim
n→∞
an+1
an
< 1,
řada konverguje,
lim
n→∞
an+1
an
> 1,
řada diverguje.
V případě lim
n→∞
an+1
an
= 1 nelze o konvergenci řady tímto kriteriem rozhodnout.
Příklad 4.19. Rozhodněte o konvergenci řad
a)
∞
P
n=1
n
(3+
1
n
)n
b)
∞
P
n=1
nn
n!
c)
∞
P
n=1
n
2n+1
Řešení.
a) Použijeme odmocninové kriterium:
lim
n→∞
n
√
an = lim
n→∞
n
√
n
3 +
1
n
=
1
3
< 1.
Daná řada konverguje.
b) V n-tém členu se vyskytuje faktoriál, je vhodné podílové kriterium:
lim
n→∞
an+1
an
= lim