Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

∞

P

n=1

1

n2 dostáváme Rn ≤

1

n , tj. její konvergence je „pomaláÿ.

Příklad 4.35. Kolik členů řady

∞

P

n=1

1

n(n+1)(n+2) je třeba sečíst, abychom její součet apro-

ximovali s chybou menší než 0,001?

Řešení. Protože platí

1

n(n+1)(n+2) <

1

n3 , plyne z předchozího příkladu odhad

Rn <

1

2 n2 . Nerovnost

1

2 n2 ≤ 0,001, tj. n

2 ≥ 500, je splněna pro n ≥ 23.

Stačí tedy sečíst 23 členů řady.

Příklad 4.36. Kolik členů řady

∞

P

n=1

2n

n! je třeba sečíst, abychom její součet aproximovali

s chybou menší než 0,01?

Řešení. Platí

an+1

an

=

2n+1

(n+1)! ·

n!

2n =

2

n+1 ≤

1
2

pro n ≥ 3. Tedy pro n ≥ 3 platí

Rn ≤ an ·

1
2

1−

1
2

= an =

2n

n! .

Nerovnost

2n

n! < 0,01 , tj. n! > 100 · 2

n, je splněna, jak se snadno přesvědčíme, pro n ≥ 8.

Stačí tedy sečíst 8 členů řady.

4.1 Číselné řady

207

Pro zájemce

Důkaz nutné podmínky konvergence řady
Tvrzení věty je zřejmé:

Nechť

∞

P

n=1

an konverguje a

∞

P

n=1

an = s = lim

n→∞

sn. Protože an = sn − sn−1, plyne odtud lim

n→∞

an = lim

n→∞

(sn − sn−1) =

= s − s = 0.

Důkaz věty o násobení členů řady konstantou
Větu snadno dokážeme přímo z definice součtu řady jako limity posloupnosti částečných součtů:

¯

sn = ka1 + ka2 + · · · + kan = k(a1 + a2 + · · · + an) = k sn;

¯

s = lim

n→∞

¯

sn = k lim

n→∞

sn = k s.

Důkaz věty o součtu řad
Věta se prověří analogicky jako věta předchozí užitím definice součtu řady a vlastností limit konvergentních posloupností.

Shrnutí

V této kapitole jsme rozšířili sečítání i na nekonečný počet sčítanců a zkoumali jsme
jeho vlastnosti – pro posloupnost (an)

∞
n=1 jsme zavedli následující pojmy:

• nekonečná řada: