Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b) an =
4n−3
n2+n+1 ,
c)
(1−sin(n
π
2
)) cos(nπ)
n!
;
2. Najděte n-tý člen následujících řad, jsou-li všechny další členy utvořeny podle stej-
ného pravidla:
a) 1 +
1
4 +
1
7 +
1
10 + . . . ,
b) 1 +
2
3 +
3
9 +
4
27 + . . . ,
c)
1
3 +
1
15 +
1
35 +
1
63 +
1
99 + · · · .
3. Najděte součet následujících nekonečných řad:
a)
∞
P
n=1
1
(n+1)(n+2) ,
b)
∞
P
n=0
(−1)n+1
2
3
n , c)
∞
P
n=0
(−1)n
5
7
n .
4. Vyjádřete následující periodické dekadické rozvoje racionálních čísel ve tvaru
zlomku:
a) 0,9999 , b) 0,490 , c) 0,30521 .
5. Ukažte, že následující řady divergují:
a)
∞
P
n=1
2n
7n+1 ,
b)
∞
P
n=1
cos
1
n ,
c)
∞
P
n=1
3+2(−1)n
n+1
.
6. Pomocí srovnávacího kriteria rozhodněte o konvergenci řad:
a)
∞
P
n=1
1
100n+1 ,
b)
∞
P
n=1
1+n
1+n2 ,
c)
∞
P
n=1
1
(3n−4)2 ,
d)
∞
P
n=1
1
2n
3
8
n , e)
∞
P
n=1
√
n+1−
√
n
n
, f)
∞
P
n=1
1
ln n .
7. Pomocí integrálního kriteria rozhodněte o konvergenci řad:
a)
∞
P
n=1
2
3+n2 ,
b)
∞
P
n=1
1+n
1+n2
, c)
∞
P
n=1
e−
√
n
√
n ,
d)
∞
P
n=2
3
n ln n ,
e)
∞
P
n=1
1
n ln2 n
,
f)
∞
P
n=1
ln n
nα .
8. Pomocí odmocninového kriteria rozhodněte o konvergenci řad:
a)
∞
P
n=1
arctgn
1
n ,
b)
∞
P
n=1
n+2
2n−1
n , c)
∞
P
n=1
1
(ln n+1)n+1 .
212
Nekonečné řady
9. Pomocí podílového kriteria rozhodněte o konvergenci řad:
a)
∞
P
n=1
n
2n ,
b)
∞
P
n=1
(n!)2
(2n)! ,
c)
∞
P
n=1
n!
nn .
10. Pomocí nutné podmínky konvergence řady ukažte, že platí:
a)
lim
n→∞
en
n! = 0,
b)
lim
n→∞
nn
(4n)! = 0,
c)
lim
n→∞
nn
(n!)2 = 0.
11. Pomocí vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci řad:
a)
∞
P
n=1
3n
3n+1
n , b)
∞
P
n=1
n3
en ,
c)
∞
P
n=1
2nn!
nn ,
d)
∞
P
n=1
(−1)n−1
2n−1 ,
e)
∞
P
n=1
(−1)n−1
√
n
, f)
∞
P
n=1
(−1)n
2n+1
3n+1
n .
12. Najděte součet řady
∞
P
n=0
(−3)n+7n+1
14n
.
13. Vynásobte následující řady a vyšetřete konvergenci vzniklé řady:
a)
∞
P
n=0
(n + 1) an a
∞
P
n=0
(n + 1) (−a)n, b)
∞
P
n=0
an
2
.
14. Najděte součet řady
a)
∞
P
n=1
1
n2 s chybou menší než 0,1,