Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
x
1 − x2
+
x2
1 −
x2
9
=
x(9 + 9x − x2 − 9x3)
(1 − x2)(9 − x2)
.
Posloupnost koeficientů řady v předchozím příkladu má následující tvar:
(cn)
∞
n=1 = (1,
1
32
, 1,
1
34
1,
1
36
, . . . )
Sestavme posloupnost ( n
√
cn)
∞
n=1:
( n
√
cn)
∞
n=1 = (1,
1
3
, 1,
1
3
, 1,
1
3
, . . . );
tato posloupnost má dvě hromadné hodnoty
h1 = 1, h2 =
1
3
přičemž horní limita této posloupnosti lim sup cn = 1.
Pomocí horní limity posloupnosti koeficientů mocninné řady se vždy dá vypočítat její
poloměr konvergence:
Věta 4.42. Pro poloměr konvergence mocninné řady
∞
P
n=0
cn (x − x0)
n platí
r =
1
lim sup
n
p|c
n|
.
Pro vyšetřování mocninných řad lze použít tento maplet.
216
Nekonečné řady
Derivace a integrace mocninných řad
Mocninná řada je vyjádřením svého součtu ve tvaru „nekonečného polynomuÿ; je při-
rozené ptát se, zda můžeme tuto řadu derivovat (nebo integrovat) člen po členu, a jak
souvisí součet vzniklé řady s derivací součtu řady původní. Tohoto problému si nyní blíže
všimneme.
Věta 4.43. Nechť mocninná řada
∞
P
n=0
cn (x − x0)
n má poloměr konvergence r > 0. Pak
platí:
a) součet této řady je spojitá funkce na (x0 − r, x0 + r)
b) pro všechna x ∈ (x0 − r, x0 + r)
Z
x
x0
∞
X
n=0
cn (t − x0)
n
!
dt =
∞
X
n=0
Z
x
x0
cn(t − x0)
n dt =
∞
X
n=0
cn
(x − x0)
n+1
n + 1
,
přičemž mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence r
c) pro všechna x ∈ (x0 − r, x0 + r)
∞
X
n=0
cn (x − x0)
n
!0
=
∞
X
n=0
(cn (x − x0)
n)
0 =
∞
X
n=1
n cn (x − x0)
n−1
přičemž mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence r.
Příklad 4.44. Určete součet řady
∞
P
n=0
xn a pomocí integrace této řady určete součet
číselné řady