Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

lim

n→∞

n

s

zn

2n

= lim

n→∞

|z|

2

=

|z|

2

;

Řada konverguje pro

|z|

2

< 1 ⇒ |z| < 2 a diverguje pro

|z|

2

> 1 ⇒ |z| > 2 – oborem

konvergence je tedy kruh se středem v 0 a poloměrem 2.
Pro |z| = 2 je |cnz

n| = 1, tedy není splněna nutná podmínka konvergence a řada zde

diverguje.

Poloměr konvergence

Viděli jsme, že obor konvergence byl v reálném oboru vždy interval souměrný podle středu
řady, v komplexním oboru kruh se středem ve středu řady; to platí i obecně, jak říká
následující věta:

Věta 4.39. Pro obor konvergence mocninné řady jsou možné následující tři situace:

1. řada konverguje pouze ve svém středu,

2. řada konverguje pro všechna x ∈ R (C),

3. existuje kladné číslo r tak, že řada konverguje absolutně pro |x − x0| < r a diverguje

pro |x − x0| > r.

Definice 4.40. Číslo r z předchozí věty se nazývá poloměr konvergence mocninné

řady

∞

P

n=0

cn (x − x0)

n.

V případě 1. resp. 2. předchozí věty klademe r = 0 resp. r = ∞.

4.2 Mocninné řady

215

Příklad 4.41. Najděte poloměr konvergence a součet řady

∞

P

n=1

xn

(2+(−1)n)n

Řešení. V případě, že řada konverguje, můžeme její členy po dvou uzávorkovat; platí
tedy

∞

X

n=1

xn

(2 + (−1)n)n

=

∞

X

k=1

x2k−1

(2 + (−1)2k−1)2k−1

+

x2k

(2 + (−1)2k)2k

=

∞

X

k=1

x

2k−1 +

x2k

32k

.

Vyšetříme řady

∞

P

k=1

x2k−1 a

∞

P

k=1

x2k

32k zvlášť:

∞

P

k=1

x2k−1 = x + x3 + x5 + · · ·

je geometrická řada s kvocientem q = x2, ta konverguje

pro |x| < 1 absolutně;

∞

P

k=1

x2k

32k je geometrická řada s kvocientem q =

x2

9 , konverguje absolutně pro

x2

9

< 1, tedy

pro |x| < 3.

Je-li tedy |x| < 1, konvergují absolutně obě řady a platí

∞

X

n=1

xn

(2 + (−1)n)n

=

∞

X

k=1

x

2k−1 +

∞

X

k=1

x2k

32k