Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∞
P
n=1
1
n 2n .
Řešení. Je
∞
X
n=0
x
n =
∞
X
n=1
x
n−1 =
1
1 − x
pro
|x| < 1
(je to geometrická řada s kvocientem x). Dále platí
Z
x
n−1 dx =
xn
n
a
Z
1
2
0
x
n−1 dx =
1
n 2n
,
tedy
∞
X
n=1
1
n 2n
=
∞
X
n=1
Z
1
2
0
x
n−1 dx =
Z
1
2
0
∞
X
n=1
x
n−1
!
dx =
Z
1
2
0
1
1 − x
dx = − ln
1
2
= ln 2.
Příklad 4.45. Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady
∞
P
n=1
n xn. Pomocí
získaného výsledku sečtěte číselnou řadu
∞
P
n=1
n
2n .
4.2 Mocninné řady
217
Řešení. Obor konvergence zadané řady určíme podílovým kriteriem:
lim
n→∞
|an+1|
|an|
= |x| · lim
n→∞
n + 1
n
< 1
⇒
|x| < 1.
Platí tedy
∞
X
n=1
n x
n = x
∞
X
n=1
n x
n−1 = x
∞
X
n=1
(x
n)0 = x
∞
X
n=1
x
n
!0
= x
x
1 − x
0
=
x
(1 − x)2
pro všechna x ∈ (−1, 1). Odtud dosazením za x =
1
2 dostaneme
∞
X
n=1
n
2n
=
1
2
(1 −
1
2 )
2
= 2.
Příklad 4.46. Máme vypočítat s přesností na šest desetinných míst (tj. s chybou menší
než 10−6) integrál
I =
Z
1
0
1
x4 + 81
dx
Řešení. Platí
I =
Z
1
0
1
x4 + 81
dx =
1
81
Z
1
0
1
1 +
x4
34
dx
Integrand
1
1+
x4
34
můžeme chápat jako součet geometrické řady s kvocientem q = −
x4
34 :
1
1 +
x4
34
= 1 −
x4
34
+
x4
34
2
−
x4
34
3
+ · · ·
která konverguje pro |q| < 1, tedy pro |x| < 3.
Protože platí (0, 1) ⊂ (−3, 3), můžeme použít větu o integraci člen po členu, tedy
Z
1
0
1
x4 + 81
dx =
1
34
Z
1
0
1
1 +
x4
34
dx =
1
34
Z
1
0
1 −
x4
34
+
x4
34
2
−
x4
34
3
+ · · ·
!
dx =
=
1
34
x −
x5
5 · 34
+
x9
9 · 38
−
x13
13 · 312
+ · · ·
1
0
=
1
34
−
1
5 · 38
+
1
314
−
1
13 · 316
+ · · ·
3
14 = 4782969 > 106
⇒
1
314
< 10
−6.
Víme, že chyba v alternující řadě je (v absolutní hodnotě) menší než absolutní hodnota
prvního vynechaného členu, viz 4.31; proto platí
I =
1
34
−
1
5 · 38
+ R,
kde |R| < 10