Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Po dosazení dostaneme alternující číselné řady
∞
P
n=0
(−1)n
1
2n+1
a
∞
P
n=0
(−1)n+1
1
2n+1 ,
které konvergují, a podle Abelovy věty tedy nalezený rozvoj platí pro x ∈ h−1, 1i.
4.2 Mocninné řady
221
c) Platí ln
1+x
1−x
= ln(1 + x) − ln(1 − x). Víme, že
ln(1 + x) =
∞
X
n=1
(−1)
n−1 x
n
n
,
x ∈ (−1, 1i,
tedy
ln(1 − x) =
∞
X
n=1
(−1)
n−1 (−x)
n
n
= −
∞
X
n=1
xn
n
,
x ∈ h−1, 1).
Proto
ln
1 + x
1 − x
=
x −
x2
2
+
x3
3
− · · ·
−
−x −
x2
2
−
x3
3
− · · ·
=
= 2 x + 2
x3
3
+ 2
x5
5
+ · · · = 2
∞
X
n=1
x2n−1
2n − 1
,
|x| < 1.
Příklad 4.53. Určete součet mocninné řady
∞
P
n=0
(2n+1) x2n
n!
Řešení. Platí
∞
X
n=0
(2n + 1) x2n
n!
=
∞
X
n=0
1
n!
(x
2n+1)0 =
∞
X
n=0
x2n+1
n!
!0
=
x
∞
X
n=0
x2n
n!
!0
.
Přitom
∞
X
n=0
x2n
n!
=
∞
X
n=0
(x2)n
n!
= e
x2 ,
tedy
∞
X
n=0
(2n + 1) x2n
n!
= (x e
x2 )0 = ex
2
(1 + 2x
2)
pro x ∈ R.
Příklad 4.54. Pomocí známých řad najděte Taylorovu řadu funkce
3
x2−x−2
a) se středem x0 = 0,
b) se středem x0 = 3.
Řešení. Danou funkci rozložíme na parciální zlomky, dostaneme
3
x2 − x − 2
=
1
x − 2
−
1
x + 1
a každý zlomek budeme rozkládat zvlášť s využitím vztahu pro součet geometrické řady
1
1−q =
∞
P
n=0
qn:
222
Nekonečné řady
a) rozklad má být v mocninách x:
1
x − 2
= −
1
2
1
1 −
x
2
= −
1
2
∞
X
n=0
xn
2n
= −
∞
X
n=0
xn
2n+1
,
pro
x
2
< 1 tj. |x| < 2
1
1 + x
=
∞
X
n=0
(−x)
n,
pro |x| < 1,
3
x2 − x − 2
= −
∞
X
n=0
xn
2n+1
−
∞
X
n=0
(−1)
nxn = −
∞
X
n=0
1
2n+1
+ (−1)
n
x
n =
= −
3
2
+
3
4
x −
9
8
x
2 +
15
16
x
3 −
33
32
x
4 +
63
64
x
5 − · · · ,
pro |x| < 1.
V krajních bodech konvergenčního intervalu řada diverguje – není splněna nutná
podmínka konvergence.
b) rozklad má být v mocninách x − 3:
1
x − 2
=
1
x − 3 + 3 − 2