Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

27

5

x5 −

81
56

x7 +

243

1120

x9 + · · · , f)

x + x2 −

1
3

x3

− 1

3

x4 +

1
5

x5 +

1
5

x6

− 1

7

x7

− 1

7

x8 +

1
9

x9

− · · · .

228

Diferenciální počet II.

5

Diferenciální počet II.

V posledních dvou kapitolách - diferenciálním a integrálním počtu funkcí více pro-

měnných - se budeme pohybovat ve vícerozměrných prostorech; bylo by správné upřesnit,
jaké prostory budeme mít na mysli.

Našim cílem bude vybudovat v těchto prostorech matematickou analýzu a ta, jak víme,
zkoumá pojmy konvergence, spojitosti a diferencovatelnosti, jejichž zavedení vyžaduje po-
jem okolí bodu, tedy pojem vzdálenosti.

Jediné obecnější prostory, které se doposud zkoumaly a které jsou z tohoto hlediska
vhodné, byly vektorové prostory se skalárním součinem, tj. unitární prostory, a speciálně
eukleidovské prostory – aritmetické vektorové prostory, kde je skalární součin definován
„po složkáchÿ. V této závěrečné části potřebné pojmy zopakujeme a dále shrneme zá-
klady o lineárních a kvadratických útvarech v rovině a prostoru - přímkách, rovinách,
kuželosečkách a kvadrikách.

5.1

Bodové eukleidovské prostory

Připomeňme, že eukleidovský vektorový prostor je vektorový prostor konečné dimenze,
ve kterém je definován skalární součin. Prvky dvoj- resp. trojrozměrného eukleidovského
vektorového prostoru se dají představit jako šipky s počátečním koncem v pevném bodě,
přičemž jaký je to bod se neuvádí. Při interpretaci aritmetických operací s těmito šipkami
je možné v případě potřeby je různě přemisťovat do jiných bodů – tedy se vlastně sou-
časně uvažoují body i vektory (šipky). V následující definici tuto intuitivní interpretaci
precizujeme:

Definice 5.1. Nechť V je eukleidovský vektorový prostor, E množina taková, že pro
každý vektor v ∈ V je určena bijekce množiny E : X 7→ X + v pro niž platí: