Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Na závěr ještě uvedeme některé vlastnosti vektorového součinu:

5.1 Bodové eukleidovské prostory

231

Věta 5.5. Vlastnosti vektorového součinu:

1. a × b ⊥ a, a × b ⊥ b,

2. a × b = o ⇔ a, b jsou lineárně závislé,

3. jsou-li a,b lineárně nezávislé, potom (a, b, a × b) je kladně orientovaná báze v E3,

4. ka × bk = kak kbk sin ϕ, kde ϕ je úhel vektorů a, b.

Důkaz naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Pro zájemce

Důkaz vlastností vektorového součinu

1. (a × b) · a =

a1

a2

a3

a1

a2

a3

b1

b2

b3

= 0 a podobně pro (a × b) · a.

2. (⇐) a, b lineárně závislé ⇒ a = αb;

a × b = (αb) × b) = α(b × b) = αo = o.
(⇒)

Jsou-li a, b lineárně nezávislé, potom podle Steinitzovy věty existuje x ∈ E3 tak, že a, b, x jsou lineárně

nezávislé; tedy (a × b) · x je determinant regulární matice a je různý od nuly, tedy a × b 6= 0.

3. Nechť A je matice přechodu od (a, b, a × b) k (i, j, k). Tedy

|A| =

a1

b1

a2

a3

b2

b3

a2

b2

−

a1

a3

b1

b3

a3

b3

a1

a2

b1

b2

= (a × b) · (a × b) > 0.

4. Nejdříve ukážeme, že platí

(a × b) · (a × b) = kak

2 · kbk2 − (a · b)2.

Nechť (i0, j0, k0) je kladně orientovaná ortonormální báze taková, že a = αi0, b = β1i

0 + β2j0. Potom

a × b =

i0

j0

k0

α

0

0

β1

β2

0

= αβ2k

0

⇒ (a × b) · (a × b) = α2β2

2 ;

kak2 · kbk2 − (a · b)2 = α2(β2

1 + β

2

2 ) − (αβ1)

2 = α2β2

2 .

Tedy

ka × b)k2 = kak2 · kbk2 − (a · b)2 = kak2 · kbk2

1 −

a · b

kak · kbk

2!

=

kak2 · kbk2(1 − cos2 ϕ) = kak2 · kbk2 sin2 ϕ.

232

Diferenciální počet II.