Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(1 + x)a = 1 +
a
1
x + a
2
x2 + · · · + a
n
xn + · · · =
∞
P
n=0
a
n
xn,
*
x ∈ (−1, 1)
ln(1 + x) = x −
x2
2 +
x3
3 − · · · + (−1)
n−1 x
n
n + · · · =
∞
P
n=1
(−1)n+1
xn
n ,
x ∈ (−1, 1i
ln
1+x
1−x
= 2
x +
x3
3 +
x5
5 + · · · +
x2n+1
2n+1 + · · ·
=
2
∞
P
n=0
x2n+1
2n+1 ,
x ∈ (−1, 1)
arctg x
= x −
x3
3 +
x5
5 + · · · + (−1)
n x
2n+1
2n+1 + · · · =
∞
P
n=0
(−1)n
x2n+1
2n+1 ,
x ∈ h−1, 1i
*
a ∈ R,
a
n
=
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
n!
.
Otázky a úkoly
1. Co je to mocninná řada?
2. Předpokládejme, že řada
∞
P
n=0
cnx
n konverguje pro x = 9 a diverguje pro x = −12.
Které z následujících tvrzení o této řadě je pravdivé a proč:
a) konverguje pro x = 7,
b) absolutně konverguje pro x = −7,
c) absolutně konverguje pro x = 9,
d) konverguje pro x = −9,
e) diverguje pro x = 10,
f) diverguje pro x = 15.
3. Předpokládejme, že řada
∞
P
n=0
cn(x−1)
n konverguje pro x = −4 a diverguje pro x = 9.
Které z následujících tvrzení o této řadě je pravdivé a proč:
a) konverguje pro x = 5,
b) absolutně konverguje pro x = 5,
c) konverguje pro x = 8,
d) absolutně konverguje pro x = −4,
226
Nekonečné řady
e) diverguje pro x = −7,
f) diverguje pro x = 6.
4. Jestliže řada
∞
P
n=0
cnx
n konverguje pro všechna kladná x, musí konvergovat i pro
záporná x?
5. Jestliže řada
∞
P
n=0
cnx
n diverguje pro x = 3, pro která další x musí divergovat?
6. Jestliže řada
∞
P
n=0
cn(x + 5)
n diverguje pro x = −2, pro která další x musí divergovat?
7. Jestliže řada
∞
P
n=0
cn(x−3)
n konverguje pro x = 7, pro která další x musí konvergovat?
8. Jestliže řada