Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∞
X
k=0
(−1)
k
t2k+1
(2k + 1)!
Dostali jsme velmi důležitý Eulerův vzorec
e
it = cos t + i sin t
a navíc
e
ikt = eit
k
⇒
cos kt + i sin kt = (cos t + i sin t)
k .
Odtud dostaneme známou Moivreovu větu:
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e
iϕ,
z
n = |z|eiϕ
n
= |z|
neniϕ = |z|n(cos nϕ + i sin nϕ).
Vztah z ∈ C, z = |z|e
iϕ se nazývá exponenciální tvar komplexního čísla.
224
Nekonečné řady
Shrnutí
V této kapitole jsme zavedli pojmy
• mocninná řada se středem x0:
řada tvaru
∞
P
n=0
cn(x − x0)
n,
• obor konvergence mocninné řady:
množina M , v jejímž každém bodě řada
konverguje a současně pro každé x 6∈ M diverguje,
• poloměr konvergence mocninné řady:
číslo r, pro které platí:
– pro |x − x0| < r řada konverguje absolutně,
– pro |x − x0| > r řada diverguje,
přičemž r vypočítáme podle vzorce r =
1
lim sup
n
√
|cn|
;
je-li r poloměr konvergence mocninné řady
∞
P
n=0
cn(x − x0)
n, potom v intervalu
(x0 − r, x0 + r) platí:
• součet řady je spojitá funkce,
• řadu můžeme derivovat a integrovat člen po členu.
Dále jsme vyšetřovali problém, jak k dané funkci najít řadu, jejímž je součtem; zavedli
jsme pojem
• Taylorova řada funkce f :
řada
∞
P
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)
n;
Taylorova řada se středem x0 = 0 se nazývá Maclaurinova řada.
4.2 Mocninné řady
225
Taylorovy (Maclaurinovy) řady některých elementárních funkcí
ex
= 1 +
x
1! +
x2
2! + · · · +
xn
n! + · · ·
=
∞
P
n=0
xn
n! ,
x ∈ R
sin x
=
x
1! −
x3
3! + · · · + (−1)
n x
2n+1
(2n+1)! + · · ·
=
∞
P
n=0
(−1)n
x2n+1
(2n+1)! ,
x ∈ R
cos x
= 1 −
x2
2! +
x4
4! + · · · + (−1)
n x
2n
(2n)! + · · ·
=
∞
P
n=0
(−1)n
x2n
(2n)! ,
x ∈ R