Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(n+1)!
(x − x0)
n+1 a ξ je mezi
x0 a x.
Je proto přirozené zavést následující definici:
4.2 Mocninné řady
219
Definice 4.49. Nechť funkce f má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu
∞
X
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)
n
nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0.
Poznamenejme, že v případě x0 = 0 se řada nazývá též Maclaurinova.
Obecně nemusí platit, že součet Taylorovy řady funkce f je roven této funkci. Uvedeme
podmínky, kdy tato rovnost platí:
Věta 4.50. Nechť funkce f má derivace všech řádů na jistém intervalu J a existuje
takové číslo k ∈ R, že
|f
(n)(x)| < k pro všechna n ∈ N a všechna x ∈ J .
Potom pro libovolné x0 ∈ J platí:
f (x) =
∞
X
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)
n
na intervalu J .
Taylorovy (resp. Maclaurinovy) řady elementárních funkcí dostaneme pomocí jejích
Taylorových polynomů, které jsme odvodili v kapitole 2.5. Obory konvergence těchto řad
najdeme pomocí kriterií konvergence, nebo pomocí známého vztahu najdeme poloměr
konvergence.
Taylorovy řady některých elementárních funkcí jsou v závěrečném shrnutí.
Příklad 4.51. Najdeme Maclaurinův rozvoj funkce f (x) = (1 + x)a, a ∈ R – tzv. bino-
mickou řadu.
Řešení. Vypočítáme potřebné derivace:
f (x) = (1 + x)a,
f (0) = 1;
f 0(x) = a (1 + x)a−1,
f 0(0) = a;
f 00(x) = a(a − 1) (1 + x)a−2,
f 00(0) = a(a − 1);
..
.
..
.
f (n)(x) = a(a − 1) · · · (a − n + 1)(1 + x)a−n, f (n)(0) = a(a − 1) · · · (a − n + 1).
Pro n-tý koeficient řady tedy platí
cn =
f (n)(0)
n!
=
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
n!
=
a
n
220
Nekonečné řady
a řada má tvar
(1 + x)
a = 1 +
a
1
x +
a
2
x
2 + · · · +