Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b)
∞
P
n=1
1
n3 s chybou menší než 0,01,
c)
∞
P
n=1
1
n2+2n−3 s chybou menší než 0,03.
Výsledky
1. a)
1
4
+
1
4
+
1
64
+
1
16
+
1
1024
+ · · · , b)
1
3
+
5
7
+
9
13
+
13
21
+
17
31
+ · · · , c) 0 +
1
2!
− 2
3!
+
1
4!
+ 0 + · · · ;
2. a)
1
3n−2
, b)
n
3n−1
, c)
1
(2n−1)(2n+1)
; 3. a)
1
2
, b) −
3
5
, c)
7
12
; 4. a) 1, b)
54
110
, c)
30491
99900
; 5. nutná podm.,
6. a) div., b) div., c) konv., d) konv., e) konv., f) div.;
7. a) konv., b) konv., c) konv., d) div., e) konv., f) konv. pro a > 1, div. pro a ≤ 1; 8. a) konv., b) konv., c) konv.;
9. a) konv., b) konv., c) konv,; 11. a) konv., b) konv., c) konv., d) konv. neabs., e) konv. neabs., f) konv. abs.;
12. 14 +
14
17
; 13. a)
∞
P
n=0
(n + 1) a2n, konv. pro |a| < 1, b)
∞
P
n=0
(n + 1) an, konv. pro |a| < 1;
4.2
Mocninné řady
Pojem nekonečné číselné řady jsme motivovali snahou rozšířit operaci sečítání na neko-
nečně mnoho sčítanců; v tomto odstavci podobným způsobem zobecníme polynomy.
4.2 Mocninné řady
213
Základní pojmy
Definice 4.37. Nechť (cn)
∞
n=0 je číselná posloupnost, x0 ∈ R (C). Řada tvaru
∞
X
n=0
cn (x − x0)
n = c
0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)
2 + · · · + c
n(x − x0)
n + · · ·
se nazývá mocninná řada a číslo x0 její střed.
Řekneme, že mocninná řada konverguje
1. v x1, právě když konverguje číselná řada
∞
P
n=0
cn (x1 − x0)
n,
2. na množině M , právě když řada
∞
P
n=0
cn (x − x0)
n konverguje pro každé x ∈ M .
Jestliže řada
∞
P
n=0
cn (x − x0)
n konverguje na množině M a současně pro každé x 6∈ M
diverguje, nazývá se M oborem konvergence této řady.
Příklad 4.38. Máme najít obory konvergence daných mocninných řad: