Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n!
·
∞
P
n=0
bn
n!
=
∞
P
n=0
(a + b)n
n!
.
∞
X
n=0
an
n!
·
∞
X
n=0
bn
n!
=
∞
X
n=0
n
X
k=0
ak
k!
·
bn−k
(n − k)!
=
(a + b)
k =
n
X
k=0
n
k
a
k bn−k,
tedy
=
=
∞
X
n=0
1
n!
n
X
k=0
n!
k!(n − k)!
· a
k bn−k =
∞
X
n=0
(a + b)n
n!
Numerická sumace
Nechť
∞
P
n=1
an je konvergentní řada. Víme, že její součet s lze psát ve tvaru
s = sn + Rn,
kde
sn = a1 + a2 + · · · + an
a
Rn = an+1 + an+2 + · · ·
je zbytek po n-tém členu. To znamená, že číslo Rn udává velikost chyby, které se dopus-
tíme, jestliže přesnou hodnotu dané konvergentní řady aproximujeme částečným součtem.
Přitom platí (řada je konvergentní!)
lim
n→∞
Rn = lim
n→∞
(s − sn) = s − s = 0.
V tomto odstavci uvedeme některé odhady pro velikost zbytku |Rn|.
Nejjednodušší tvar má tento odhad pro alternující řadu:
Věta 4.31. Nechť (bn)
∞
n=0
je nerostoucí posloupnost kladných čísel taková, že
lim
n→∞
bn = 0. Pak pro zbytek po n-tém členu alternující řady
∞
P
n=0
(−1)n bn
platí
|Rn| < bn+1.
Pokud daná řada není alternující, můžeme pro určování chyby použít následující dvě tvr-
zení, která plynou ze srovnávacího kriteria konvergence (s mocninnou řadou s kvocientem
q) a z integrálního kriteria:
206
Nekonečné řady
Věta 4.32. Nechť
∞
P
n=1
an je číselná řada, pro kterou platí
an+1
an
≤ q < 1
∀n ∈ N. Pak
pro zbytek Rn platí
|Rn| ≤ |an|
q
1−q .
Věta 4.33. Nechť
∞
P
n=1
an je řada s nezápornými členy. Nechť an = f (n), kde f je nezá-
porná a nerostoucí funkce na intervalu h1, ∞).
Pak pro zbytek Rn platí
Rn ≤
∞
R
n
f (x) dx.
Příklad 4.34. Odhadneme zbytek řady
∞
P
n=1
1
na , kde a ∈ R, a > 1.
Řešení. Daná řada konverguje. Platí
Rn ≤
Z
∞
n
dx
xa
=
1
1 − a
1
xa−1
∞
n
=
1
(a − 1) na−1
.
Například pro řadu