Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

symbol

∞

P

n=1

an = a1 + a2 + · · · + an + · · · ,

• n-tý člen nekonečné řady:

číslo an,

• posloupnost

částečných

součtů

nekonečné

řady:

posloupnost

( sn )

∞
n=1 ,

kde

sn =

n

P

k=1

ak = a1 + a2 + · · · + an,

• součet nekonečné řady:

limita posloupnosti částečných součtů s = lim

n→∞

sn;

přitom říkáme, že

• řada konverguje:

je-li s vlastní,

• řada diverguje:

je-li s nevlastní nebo neexistuje,

• řada konverguje absolutně:

konverguje-li řada absolutních hodnot členů pů-

vodní řady,

přitom z absolutní konvergence řady plyne její konvergence;

jedna z řad, jejíž součet umíme zjistit přesně, je:

• geometrická řada:

∞

P

n=0

qn =

1

1−q pro |q| < 1;

208

Nekonečné řady

V mnoha situacích nepotřebujeme znát přesný součet řady, stačí vědět, zda řada kon-
verguje nebo diverguje. K ověření konvergence slouží kriteria konvergence.

Základním kriteriem pro konvergenci řady je

• nutná podmínka konvergence:

jestliže řada

∞

P

n=1

an konverguje, potom lim

n→∞

an =

= 0;

Dále jsme uvedli kriteria pro řady s nezápornými členy, která u řad s členy s
libovolnými znaménky slouží k zjištění absolutní konvergence.

Je-li

∞

P

n=1

an řada s nezápornými členy, platí následující kriteria konvergence:

• srovnávací:

je-li

∞

P

n=1

bn jiná řada, o které víme, že konverguje, potom platí-li

an ≤ bn pro skoro všechna n ∈ N, konverguje i řada

∞

P

n=1

an,

jestliže řada

∞

P

n=1

bn diverguje a platí an ≥ bn pro skoro všechna n ∈ N, diverguje

i řada

∞

P

n=1

an;

• integrální:

je-li f nezáporná a nerostoucí funkce definovaná na intervalu h1, ∞)

a an = f (n) pro n ∈ N, potom řada

∞

P

n=1

an konverguje, právě když konverguje

nevlastní integrál

∞

R

1

f (x) dx;

• odmocninové:

je-li lim sup n

√

an < 1, řada konverguje,