Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n-tých odmocnin absolutních hodnot členů řady:
n
p|a
n|
n∈N
=
|1 + 3 · (−1)n|
8 n
√
n
n∈N
=
1
2
2k
√
2k
pro n = 2k
1
4
2k−1
√
2k−1
= pro n = 2k − 1
Platí
lim
k→∞
1
2
2k
√
2k
=
1
2 ,
lim
k→∞
1
4
2k−1
√
2k−1
=
1
4
Tedy
lim sup
n
p|a
n| =
1
2
< 1
– řada konverguje absolutně.
202
Nekonečné řady
Alternující řady
Definice 4.23. Nekonečná řada
∞
P
n=1
an, an ∈ R se nazývá alternující, právě když libo-
volné dva po sobě jdoucí členy mají opačná znaménka, tj. platí
sgn an+1 = − sgn an
∀n ∈ N.
Každou alternující řadu lze psát ve tvaru
∞
P
n=1
(−1)n−1 bn nebo ve tvaru
∞
P
n=1
(−1)n bn, kde
bn > 0 pro všechna n ∈ N.
Pro alternující řady platí následující kriterium konvergence:
Věta 4.24. (Leibnizovo kriterium)
Nechť (bn) je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Potom alternující řada
∞
P
n=1
(−1)n bn
konverguje, právě když platí lim
n→∞
bn = 0.
Příklad 4.25. Pomocí Leibnizova kriteria rozhodneme o konvergenci následujících alter-
nujících řad:
a)
∞
P
n=1
(−1)n−1
1
n
b)
∞
P
n=1
(−1)n
3n+2
2n−3
c)
∞
P
n=1
(−1)n
1
n−ln n
Řešení.
a) Tato řada se nazývá Leibnizova. Posloupnost
1
n
je klesající a má limitu
0, proto podle Leibnizova kriteria konverguje (neabsolutně). Později ukážeme, že má
součet ln 2.
b) Platí lim
n→∞
bn =
3
2 , proto řada diverguje.
c) Nejprve ověříme, zda je posloupnost
1
n−ln n
klesající. Uvažujme funkci y =
1
x−ln x .
Platí, že
y
0 = −
1
(x − ln x)2
1 −
1
x
< 0
pro
x > 1,
tj. tato funkce je klesající na intervalu (1, ∞), odkud plyne, že také posloupnost
1
n−ln n
je klesající.
Dále je lim
n→∞
(n − ln n) = lim
n→∞
ln
en
n = ∞, a proto lim
n→∞
1
n−ln n = 0. Daná řada konver-
guje.
Přerovnání řad, násobení řad
Asociativní zákon, platný pro konečné součty, lze, jak jsme ukázali, v určitém smyslu roz-
šířit na konvergentní řady. Komutativní zákon, platný pro konečné součty, vyjadřuje, jak
známo, nezávislost součtu na pořadí sčítanců. Tento zákon nelze rozšířit na konvergentní
řady, jak je vidět na tomto příkladu: