Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

n→∞

n! (n + 1)n+1

(n + 1)! nn

= lim

n→∞

(n + 1)n

nn

= lim

n→∞

1 +

1

n

n

= e > 1.

Řada diverguje.

c) Použijeme podílové kriterium:

lim

n→∞

an+1

an

= lim

n→∞

(n + 1) (2n + 1)

(2(n + 1) + 1) n

= lim

n→∞

2n2 + 3n + 1

2n2 + 3n

= 1.

Kriterium nerozhodne; stejný výsledek dostaneme při použití odmocninového krite-
ria. Pro danou řadu však není splněna nutná podmínka konvergence:

lim

n→∞

an = lim

n→∞

n

2n + 1

=

1

2

6= 0

– řada diverguje.

Pro vyšetřování číselných řad lze použít tento maplet.

4.1 Číselné řady

201

Absolutní konvergence

Základní kriteria konvergence jsou formulována pro řady s nezápornými členy, což se může
jevit jako jisté omezení. Ovšem současně s řadou s obecnými členy můžeme vyšetřovat
i řadu absolutních hodnot jejích členů; to nám umožní také vyšetřovat konvergenci řad
komplexních čísel, kterou bez použití absolutní hodnoty nevyšetříme – uvědomme si, že
do C nelze zavést uspořádání. Pro řadu, utvořenou z absolutních hodnot členů řady platí
následující důležitá věta:

Věta 4.20. Nechť je dána řada s libovolnými znaménky

∞

P

n=1

an. Utvořme řadu

∞

P

n=1

|an|;

jestliže tato řada konverguje, potom původní řada je také konvergentní.

Platnost věty nás vede k následující definici:

Definice 4.21. Jestliže konverguje řada

∞

P

n=1

|an|,

an ∈ R resp. an ∈ C, říkáme, že řada

∞

P

n=1

an konverguje absolutně.

Jestliže řada

∞

P

n=1

|an| diverguje a řada

∞

P

n=1

an konverguje, říkáme, že řada

∞

P

n=1

an konver-

guje neabsolutně.

Příklad 4.22. Vyšetřeme konvergenci řad

a)

∞

P

n=1

sin n

n2

b)

∞

P

n=1

(1+3·(−1)n)n

n 8n

Řešení.

a) Ukážeme, že řada konverguje absolutně:

sin n

n2

<

1

n2

∧

∞

X

n=1

1

n2

konverguje

⇒

∞

X

n=1

sin n

n2

konverguje.

Tedy zadaná řada konverguje absolutně.

b) Pro absolutní konvergenci použijeme odmocninové kriterium; vyšetříme posloupnost