Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Otázky a úkoly

1. Co je to bodový eukleidovský prostor?

2. Co je to kartézská soustava souřadnic?

3. Kdy řekneme, že jsme trojrozměrný bodový eukleidovský prostor orientovali?

4. Jak definujeme vektorový a smíšený součin?

5. Jsou dány vektory a, b, c, d ∈ E3. Ukažte, že

(a) vektory a × d, b × d, c × d jsou lineárně závislé

(b) vektory a − d, b − c jsou lineárně závislé, jestliže platí

a × b = c × d a a × c = b × d.

Cvičení

1. V E3 určete ka × bk, je-li a = −3i + 4j + k, b = −2j + k.

2. V E3 vypočítejte

(a) ka × bk, je-li kak = 1, kbk = 5 a a · b = −3

(b) b · c, je-li a · b = 0 a a × c = o, a 6= o

3. V E3 zjednodušte

a)

i × (i + j + k) + (j + k) × (i − 2j)

b)

(2i + k) × (i − 3j + 2k)

4. V E3 určete vektor x , který je ortogonální k vektorům a = (6, 3, 0) a b = (1, 7, 2)

a pro který platí x · c = 6, kde c = (4, −4, −2).

5.2 Funkce více proměnných

233

5.2

Funkce více proměnných

Pojem funkce dvou a více proměnných, definiční obory, graf

Definice 5.6. Reálnou funkcí v R

n rozumíme zobrazení

f :

R

n → R

X 7→ f (X)

.

Protože libovolný bod X ∈ R

n je popsán pomocí svých n souřadnic x

1, . . . , xn, závisí

hodnota funkce f v bodě X = [x1, . . . , xn] na n hodnotách x1, . . . , xn. Z tradičních důvodů
se proto funkce v R

n nazývají funkcemi n reálných proměnných.

Budeme se převážně zabývat funkcemi v R

2 a R3 , tedy funkcemi dvou a tří proměnných,

kde se k označení proměnných obvykle používá několik písmen místo písmen s indexy,
např.: