Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

√

k.

Podobně jako u funkcí jedné proměnné se zavádějí pojmy ohraničená funkce (shora,
zdola), zúžení funkce a aritmetické operace s funkcemi (součet, rozdíl, součin a
podíl dvou funkcí).

Příklad 5.16. Ukažme, že funkce f (x, y) = e−x

2−y2 z příkladu 5.14 je ohraničená.

Řešení. Při výpočtu vrstevnic funkce jsme získali podmínku na velikost konstanty k
(„kótaÿ vrstevnice):

x

2 + y2 = − ln k ⇒ ln k ≤ 0 ⇒ 0 < k ≤ 1

– tedy funkce je nezáporná a ohraničená; největší hodnoty 1 nabývá v počátku. Obor
hodnot Hf = (0, 1i.

5.2 Funkce více proměnných

239

Složená funkce

Definice 5.17. Nechť je dána funkce f : A → R, A ⊂ R

m (tedy funkce m proměnných

f (x1, x2, . . . , xm) ) a m funkcí n proměnných ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm, které jsou definované na
množině M ⊂ R

n tak, že platí

[ϕ1(t1, t2, . . . , tn), ϕ2(t1, t2, . . . , tn), . . . , ϕm(t1, t2, . . . , tn)] ∈ A pro [t1, t2, . . . , tn] ∈ M.

Potom funkci

F (t1, t2, . . . , tn) = f (ϕ1(t1, t2, . . . , tn), ϕ2(t1, t2, . . . , tn), . . . , ϕm(t1, t2, . . . , tn) ),

která je definovaná na množině M , nazýváme složenou funkcí . Funkci f nazýváme
hlavní nebo vnější složkou a funkce ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm vedlejšími nebo vnitřními slož-
kami.

Je-li například f (x, y, z) funkce tří proměnných a ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v) trojice funkcí
dvou proměnných, je

F (u, v) = f (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))

složená funkce s vnější složkou f a vnitřními složkami ϕ1, ϕ2, ϕ3.

Příklad 5.18. Najděme hlavní a vedlejší složky funkce