Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

 z = −x2,

y = 0.

Obr. 5.5: f (x, y) = y2 − x2, z ≥ 0

Obr. 5.6: f (x, y) = y2 − x2, z ≤ 0

Příklad 5.14. Vyšetřeme graf funkce f (x, y) = e−x

2−y2 .

Řešení. Funkce je definována v ce-
lém R

2. Abychom zjistili, jak vy-

padá její graf, najdeme řezy rovi-
nami z = k:

e

−x2−y2 = k ⇔ x2+y2 = − ln k ⇒

řezy jsou kružnice se středem na ose
z, graf je rotační plocha s osou ro-
tace v ose z. Pro představu grafu
stačí získat křivku, jejíž rotací graf
vznikne. Položme x = 0, dostaneme
křivku

 z = e−y

2

,

x = 0

– graf vznikne rotací této křivky ko-
lem osy z.

Obr. 5.7: f (x, y) = e−x

2−y2 (včetně 3D)

238

Diferenciální počet II.

Průmět řezů grafu funkce rovinami rovnoběžnými s rovinou xy do této roviny na-

zýváme vrstevnice; jsou to tedy křivky v rovině z = 0 (v definičním oboru funkce) o
rovnicích f (x, y) = c =konst.

Nakreslíme vrstevnice funkcí z předchozích dvou příkladů:

Obr. 5.8: Vrstevnice z = e−x

2−y2

Obr. 5.9: Vrstevnice z = y2 − x2

Množinám {[x1, . . . , xn] | f (x1, . . . , xn) = c = konst.} v obecném případě říkáme hla-

diny funkce f .

Je-li například T = f (x, y, z) funkce udávající teplotu v bodě [x, y, z], je plocha o rovnici
f (x, y, z) = 20 hladina tvořená body v prostoru o teplotě 20(oC).

Příklad 5.15. Máme popsat hladiny funkce f (x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Řešení. Pro libovolné k zkoumejme plochu o rovnici x2 + y2 + z2 = k. Je-li k < 0, žádná
plocha tohoto tvaru zřejmě neexistuje; je-li k = 0, jedná se o bod – počátek souřadné
soustavy [0, 0, 0]. Pro k > 0 dostáváme kulovou plochu o poloměru