Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
jestliže pro každé ξ < a existuje
a
R
ξ
f (x) dx a jestliže existuje limita na pravé straně.
Obr. 3.14: Integrál na neohraničeném intervalu
Příklad 3.50. Máme vypočítat nevlastní integrály
a)
Z
∞
0
e
−x dx,
b)
Z
0
−∞
1
1 + x2
dx,
c)
Z
∞
1
dx
xα
.
Řešení.
a)
Z
∞
0
e
−x dx = lim
ξ→∞
−e−x
ξ
0
= lim
ξ→∞
−e−ξ + e0 = 0 + 1 = 1.
188
Integrální počet
b)
Z
0
−∞
1
1 + x2
dx = lim
ξ→−∞
Z
0
ξ
1
1 + x2
dx = lim
ξ→−∞
[ arctg x ]
0
ξ =
= lim
ξ→−∞
[− arctg ξ ] =
π
2
.
c)
Buď
α 6= 1.
Potom
Z
ξ
1
dx
xα
=
x1−α
1 − α
ξ
1
=
ξ1−α − 1
1 − α
.
lim
ξ→∞
ξ1−α − 1
1 − α
=
( ∞
pro α < 1,
1
α−1
pro α > 1.
.
Dále je
Z
∞
1
dx
x
= lim
ξ→∞
[ ln |x| ]
ξ
1 = lim
ξ→∞
[ln |ξ| − ln 1] = ∞.
Tedy
∞
R
1
dx
xα
konverguje pro α > 1 a diverguje pro α ≤ 1.
Integrály z neohraničených funkcí
Definice 3.51. Nechť je funkce f definovaná v intervalu ha, b) a v okolí bodu b je neo-
hraničená. Nechť pro každé ξ ∈ (a, b) existuje integrál
ξ
R
a
f (x) dx a nechť existuje limita
lim
ξ→b−
ξ
R
a
f (x) dx. Pak tuto limitu nazýváme nevlastním integrálem
(se singularitou
v horní mezi) funkce f v intervalu ha, b) a píšeme
Z
b
a
f (x) dx = lim
ξ→b−
Z
ξ
a
f (x) dx.
Podobně definujeme nevlastní integrál v intervalu (a, bi z funkce neohraničené v okolí
bodu a (se singularitou v dolní mezi) vztahem
Z
b
a
f (x) dx = lim
ξ→a+
Z
b
ξ
f (x) dx.
V obou případech říkáme opět, že integrál konverguje, je-li limita napravo vlastní.
3.5 Nevlastní integrály
189
Obr. 3.15: Integrál z neohraničené funkce
Příklad 3.52. Vypočítáme následující integrály:
a)
Z
1
0
dx
√
1 − x2
,
b)
Z
b
a
dx
(x − a)α
.
Řešení.
a)
Z
1
0
dx
√
1 − x2
= lim
ξ→1−
Z
ξ
0
dx
√
1 − x2
= lim
ξ→1−
[arcsin x]
ξ
0 = lim