Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

V dalších několika příkladech budeme počítat limity (resp. prověřovat, že tyto nee-

xistují) u několika funkcí dvou proměnných, poněvadž zde je možno pro lepší pochopení
situaci znázornit graficky; bez újmy na obecnosti budeme počítat limity v počátku (v
případě výpočtu limity v jiném bodě je možno posunout počátek do tohoto bodu).

Příklady uvádíme hlavně proto, abychom na nich ilustrovali, jak komplikovaná situace
může být v okolí bodů, v nichž funkce více proměnných není definovaná, narozdíl od
funkce jedné proměnné, kdy ke kompletní představě o průběhu funkce v okolí takového
bodu stačily jednostranné limity.

Příklad 5.29. Vyšetřete limity

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y), je-li

a)

x2 − y2

x + y , b)

f (x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2

, c)

f (x, y) = (x2 + y2) sin

1

xy .

Řešení.

a)

Platí

x2−y2

x+y

=

(x−y)(x+y)

x+y

= x − y

x6=−y

, přičemž

lim

(x,y)→(0,0)

x − y = 0.

Odtud podle věty o limitě zúžené funkce plyne, že

lim

(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x + y = 0.

b) Definičním oborem funkce je množina

Df = R

2 \ {(0, 0)}, přičemž

x3y − xy3

x2 + y2

= |xy|

x2 − y2

x2 + y2

≤ |xy|

x2 + y2

x2 + y2

= |xy|,

a protože

lim

(x,y)→(0,0)

|xy| = 0, je hledaná limita

rovna nule.
Chování funkce v okolí počátku je naznačeno
v sousedním obrázku.

Obr. 5.15:

x3y−xy3

x2+y2

5.3 Limita, spojitost

251

c) Definičním oborem funkce je množina Df = { (x, y) | x 6= 0, y 6= 0}, tedy rovina

s vyjmutými souřadnými osami; vyšetřujeme sa-
mozřejmě limitu vzhledem k tomuto definičnímu
oboru. Platí

(x

2 + y2) sin

1

xy

≤ x

2 + y2

a

lim

(x,y)→(0,0)

(x

2 + y2) = 0,

tedy hledaná limita je rovna nule.
Sousední obrázek opět naznačuje chování funkce
v okolí počátku; graf „kmitáÿ se zmenšující se
amplitudou, ale s narůstající frekvencí.