Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

(

xy

x2 + y2

x 6= 0, y 6= 0

0

x = 0, y = 0

,

e), f (x, y) = ln |1 − x2 − y2|, f)

f (x, y) =

(

x3y − xy3

x2 + y2

x 6= 0, y 6= 0

0

x = 0, y = 0

.

Výsledky

1. a) 3, b),c) −

1
2

, d) e2, e),f) 2;

3. a) y = x − kπ, k ∈ Z, b) x = k ∧ y = l, k, l ∈ Z, c) y

2 = 2x, d) (0, 0), e) x2 + y2 = 1, f) všude spojitá.

5.4

Derivace

Parciální derivace

Definice 5.32. Nechť je funkce f (x, y) definována v jistém okolí bodu X0 = (x0, y0) ∈ R

2

. Zvolme y = y0 a uvažujme funkci f1(x) = f (x, y0) jedné proměnné x, která je definovaná
v jistém okolí bodu x0 ∈ R . Existuje-li vlastní derivace f

0

1(x0) funkce f1 v bodě x0 , tedy

existuje-li konečná limita

lim

h→0

f1(x0 + h) − f (x0)

h

= lim

h→0

f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)

h

= lim

h→0

f (X0 + hi) − f (X0)

h

nazýváme ji parciální derivací prvního řádu funkce f v bodě X0 podle proměnné x.

Obvyklá označení: f 0

x(X0),

∂f
∂x (X0).

Podobně se definuje parciální derivace funkce f podle (druhé) proměnné y v bodě X0.

Rozumí se jí vlastní derivace funkce f2(y) = f (x0, y) v bodě y = y0.
Obvyklá označení: f 0

y (X0),

∂f
∂y (X0).

Z definice parciálních derivací je patrné, jak se provádí jejich výpočet. Počítáme-li napří-
klad f 0

x(X0), dosadíme y = y0 do funkčního předpisu f (x, y) a derivujeme vzniklou funkci

jedné proměnné podle obvyklých pravidel. Požadavek dosazení y = y0 můžeme při prak-
tickém výpočtu nahradit tím, že y nepovažujeme za proměnnou a derivujeme obvyklým
způsobem podle proměnné x. Z definice dále vyplývá, že pro výpočet parciálních derivací
platí pravidla o derivování součtu, součinu a podílu funkcí.