Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0(X

0).

Věta 5.40. Je-li f funkce hladká na oblasti A, platí pro každý vektor u

X ∈ A

⇒

f

0

u(X ) = u · gradf (X ).

Z této věty vyplývá velmi důležitá vlastnost gradientu:

Pro skalární součin vektorů platí u · v = kuk kvk cos α, kde α je úhel mezi vektory u a
v. Pro směrovou derivaci (kuk = 1) tedy platí

f

0

u(X ) = u · gradf (X ) = kgradf (X )k cos α.

Ptáme se, ve kterém směru bude v daném bodě směrová derivace největší: je vidět, že to
bude v případě α = 0, kdy je cos α = 1, a v tomto případě bude rovna velikosti gradientu.

Geometrický význam gradientu

Gradient gradf (X) udává (v definičním oboru!) směr, ve kterém, vycházíme-li z bodu X,
funkce nejrychleji roste (v případě funkce dvou proměnných je to směr kolmý na vrstevnici,
v případě funkce tří proměnných směr kolmý na hladinu funkce).

260

Diferenciální počet II.

Obr. 5.23: f (x, y) = x2 − y2, graf, vrstevnice a gradient

Nyní zobecníme na funkce více proměnných pojem diferenciálu:

U funkce jedné proměnné jsme definovali diferenciál jako lineární část přírůstku funkce, ji-
nak řečeno bylo to zobrazení h 7→ f 0(x0) h (pro funkci diferencovatelnou v x0). Analogicky
budeme postupovat u funkce více proměnných:

Diferenciál funkce více proměnných

Definice 5.41. Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod X0 ∈ A a h je vektor. Potom
zobrazení

df (X0, h) = gradf (X0) · h = f

0

h(X0)

nazýváme diferenciálem funkce f v bodě X0. Místo df (X0, h) někdy píšeme jen
df (X0).

Je-li f funkce dvou proměnných, f = f (x, y), X0 = [x0, y0], h = (dx, dy), potom

df (X0, h) = f

0

x(x0, y0) dx + f

0

y (x0, y0) dy.