Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Poznamenejme, že rovnici tečné roviny k ploše o rovnici f (x, y, z) = 0 v bodě

X0 = [x0, y0, z0] ležícím na této ploše můžeme napsat ve tvaru

(X − X0) · grad f (X0) = 0,

neboli

f

0

x(x0, y0, z0)(x − x0) + f

0

y (x0, y0, z0)(y − y0) + f

0

z (x0, y0, z0)(z − z0) = 0

– vektor s koncovým bodem v libovolném bodě tečné roviny a počátečním v bodě dotyku
(tedy ležící v tečné rovině) je kolmý na gradient funkce, jejíž hladinou je rovnice dané
plochy.

5.4 Derivace

263

Shrnutí

V této kapitole jsme zavedli pro funkci více proměnných f (x1, . . . , xn) pojmy

• parciální derivace podle xi v bodě [a1, . . . , an]:

derivace funkce jedné proměnné

g(xi) = f (a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) v bodě ai, neboli (pro funkci dvou pro-
měnných f (x, y) a bod [x0, y0])

f 0

x(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)

h

,

f 0

y (x0, y0) = lim

h→0

f (x0, y0 + h) − f (x0, y0)

h

,

• parciální derivace podle xi na množině M :

funkce, která každému bodu mno-

žiny M přiřazuje parciální derivaci funkce f v tomto bodě,

• derivace funkce f podle vektoru:

(pro funkci dvou proměnných f (x, y), bod

[x0, y0] a vektor (u, v))

f

0

(u,v)(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + hu, y0 + hv) − f (x0, y0)

h

,

• gradient funkce v bodě:

vektor, jehož jednotlivé složky jsou parciální derivace

podle jednotlivých proměnných,

grad f = (f

0

x1 , f

0

x2 , . . . , f

0

xn );

• hladká funkce (třídy C1) na množině M :

funkce, jejíž parciální derivace jsou

spojité na množině M ,

• gradient hladké funkce udává směr, ve kterém funkce nejrychleji roste, je to