Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
k(k
− 1)(k − 2) . . . 3 · 2 · 1
=
n!
(n
− k)!k!
=
n
k
Pro kombinaˇ
cn´ı ˇ
c´ıslo
n
k
, ˇ
cteme n nad k, 0
≤ k ≤ n plat´ı:
n
1
= n;
n
n
= 1;
n
0
= 1;
0
0
= 1;
n
k
=
n
n
− k
;
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
;
n
k + 1
=
n
− k
k + 1
n
k
.
Pˇ
r´ıklad 14.5 Ve tˇ
r´ıdˇ
e je 5 student˚
u a 3 studentky, kteˇ
r´ı hraj´ı tenis. Kolik lze sehr´
at
z´
apas˚
u, v nichˇ
z budou hr´
at dvˇ
e studentky proti dvˇ
ema student˚
um? Kaˇ
zd´
a ˇ
ctveˇ
rice bude
hr´
at pouze jednou.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Poˇ
cet dvojic student˚
u, kter´
e lze vybrat z pˇ
eti student˚
u je d´
an C2(5) =
5
2
(nez´
aleˇ
z´ı na
poˇ
rad´ı).
Poˇ
cet dvojic studentek, kter´
e lze vybrat ze tˇ
r´ı studentek je C2(3) =
3
2
.
Poˇ
cet z´
apas˚
u je pak
5
2
·
3
2
=
5!
3!2!
3!
2!
= 30.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
100
Pˇ
r´ıklad 14.6 Kolika pˇ
r´ımkami lze spojit 10 bod˚
u, jestliˇ
ze tˇ
ri z nich leˇ
z´ı na jedn´
e pˇ
r´ımce?
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Kaˇ
zd´
e dva r˚
uzn´
e body urˇ
cuj´ı pˇ
r´ımku, nez´
aleˇ
z´ı na poˇ
rad´ı, tedy
C2(10) =
10
2
=
10!
2!8!
= 45.
Tˇ
remi body (leˇ
z´ıc´ımi na pˇ
r´ımce) by byly urˇ
ceny tˇ
ri pˇ
r´ımky, takˇ
ze poˇ
cet pˇ
r´ımek je
p = 45
− 2 = 43.
14.2
Binomick´
a vˇ
eta
Binomick´
a vˇ
eta. Pro libovoln´
a re´
aln´
a (i komplexn´ı) ˇ
c´ısla a, b a pro libovoln´
e n
∈ N
plat´ı, ˇ
ze
(a + b)
n = an +
n
1
a
n
−1b + . . . +
n
k
a
n
−kbk + . . . +
n
n
− 1
ab
n
−1 + bn
Binomick´
e koeficienty - kombinaˇ
cn´ı ˇ
c´ısla - lze vypoˇ
c´ıtat z Pascalova troj´
uheln´ıka:
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
atd.
1
1
1
|
{z
}
1
2
|
{z
}
1
1
3
|
{z
}
3
1
1
4
|
{z
}
6
4
1
1
5
10
10
5
1
atd.
Pˇ
r´ıklad 14.7 Umocnˇ
ete podle binomick´
e vˇ
ety (2x
−
3
2 )
4.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
(2x
−
3
2
)
4 =
4
0
(2x)
4 +
4