Matematický seminář - doc. E. Kolářová

ana kruˇ

znice, do n´ı opˇ

et ˇ

ctverec, pak kruˇ

znice

atd. Vypoˇ

c´ıtejte obsah vˇ

sech takto vznikl´

ych ˇ

ctverc˚

u.

[2a2]

Pˇ

r´ıklad 13.25 Poloˇ

cas pˇ

remˇ

eny (rozpadu jader) r´

adia je pˇ

ribliˇ

znˇ

e 20 minut. Kolik r´

adia

zbude bez pˇ

remˇ

eny z 1mg po n hodin´

ach? (Poloˇ

cas pˇ

remˇ

eny radioaktivn´ı l´

atky je doba, za

kterou dojde k radioaktivn´ı pˇ

remˇ

enˇ

e pˇ

ribliˇ

znˇ

e poloviny jader atom˚

u t´

e l´

atky.)

[an = q

n = 1

8n ]

Pˇ

r´ıklad 13.26 Pro x

∈ h0; 2πi ˇreˇste rovnici 1 + sin

2 x + sin4 x + . . . = 2tg x.

[x

6=

π

2 ∧ x 6=

3π

2 , pak dostaneme sin 2x = 1 ⇒ x ∈ {

π

4 ,

5π

4 } ]

Matematick´

y semin´

aˇ

r

98

14

Kombinatorika

14.1

Permutace, variace a kombinace

Permutace n prvk˚

u dan´

e z´

akladn´ı n-prvkov´

e mnoˇ

ziny je kaˇ

zd´

a uspoˇr´

adan´

a n-tice tˇ

echto

prvk˚

u, pˇriˇ

cemˇ

z kaˇ

zd´

y prvek z´

akladn´ı mnoˇ

ziny se v t´

eto n-tici vyskytuje pr´

avˇ

e jedenkr´

at.

Pro poˇ

cet P (n) vˇsech permutac´ı n prvk˚

u plat´ı:

P (n) = n(n

− 1)(n − 2) . . . 3 · 2 · 1 = n!

Symbol n! ˇ

cteme n faktori´

al, definujeme 0! = 1.

Pˇ

r´ıklad 14.1 Kolik pˇ

eticifern´

ych ˇ

c´ısel je moˇ

zno sestavit z ˇ

c´ıslic 0, 1, 3, 4, 7? Kolik je z

nich sud´

ych?

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Vˇ

sech pˇ

eticifern´

ych ˇ

c´ısel je P (5) = 5! = 120.

Na prvn´ım m´ıstˇ

e nesm´ı b´

yt nula, tˇ

echto ˇ

c´ısel je P (4) = 4! = 24. Celkem je pˇ

eticifern´

ych

ˇ

c´ısel 120

− 24 = 96.

Sud´

a ˇ

c´ısla maj´ı na m´ıstˇ

e jednotek 0, tˇ

ech je

P (4) = 4! = 24,

nebo maj´ı na m´ıstˇ

e jednotek ˇ

c´ıslici 4, ale souˇ

casnˇ

e nesm´ı m´ıt na prvn´ım m´ıstˇ

e ˇ

c´ıslici 0,

tˇ

ech je

P (4)

− P (3) = 4! − 3! = 18.

Celkem je sud´