Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
e) (
√
2/2)(cos(
−3π/4) + i sin(−3π/4)]
Pˇ
r´ıklad 12.17 Napiˇ
ste algebraick´
y tvar komplexn´ıho ˇ
c´ısla z = cos
π
6
+ i sin
π
6
.
[
√
3/2 + i/2]
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
91
Pˇ
r´ıklad 12.18 Vypoˇ
c´ıtejte algebraick´
y tvar souˇ
cinu a pod´ılu komplexn´ıch ˇ
c´ısel:
a) z1 = 6(cos
π
2
+ i sin
π
2
)
z2 =
1
3
(cos
π
6
+ i sin
π
6
)
b) z1 =
√
3 + i
z2 = 6(cos
π
3
+ i sin
π
3
)
[a) z1z2 =
−1 +
√
3 i; z1/z2 = 9 + 9
√
3 i; b) z1z2 = 12i; z1/z2 =
1
6 (
√
3
− i)]
Pˇ
r´ıklad 12.19 Pomoc´ı Moivreovy vˇ
ety vypoˇ
c´ıtejte:
a) (
−1 + i
√
3)3
b) (
√
3
2
−
1
2 i)
100
[a) 8; b)
− 1/2 −
√
3 i/2]
Pˇ
r´ıklad 12.20 Jestliˇ
ze z = cos
π
4
+ i sin
π
4
, najdˇ
ete algebraick´
y tvar komplexn´ıho ˇ
c´ısla
z
3 +
1
z3
.
[
−
√
2]
Pˇ
r´ıklad 12.21 Vyˇ
reˇ
ste v C kvadratick´
e rovnice:
a) z2 + 2z + 2 = 0
b) z2 + 6z + 25 = 0
[a)
− 1 ± i; b) − 3 ± 4i]
Pˇ
r´ıklad 12.22 Vyˇ
reˇ
ste v C n´
asleduj´ıc´ı rovnice:
a) z4 = 1
b) z3 = 1/8
c) z6 =
−64
[a) 1, i,
−1, −i; b)
1
2 , −
1
4 (1 −
√
3i),
−
1
4 (1 +
√
3i);
c) 2i,
−2i,
√
3 + i,
−
√
3 + i,
√
3
− i, −
√
3
− i]
Matematick´
y semin´
aˇ
r
92
13
Posloupnosti a ˇ
rady
13.1
Aritmetick´
a a geometrick´
a posloupnost
Nekoneˇ
cnou posloupnost´ı se naz´
yv´
a kaˇ
zd´
a funkce, jej´ımˇ
z definiˇ
cn´ım oborem je mnoˇ
zina
vˇsech pˇrirozen´
ych ˇ
c´ısel N.
Koneˇ
cnou posloupnost´ı naz´
yv´
ame kaˇ
zdou funkci, jej´ıˇ
z definiˇ
cn´ı obor je mnoˇ
zina
{n ∈
N
, n
≤ n0}, kde n0 ∈ N je pevnˇe dan´e ˇc´ıslo.
Posloupnost je zad´
ana bud’ v´
yˇ
ctem prvk˚
u, rekurentnˇ
e, nebo vzorcem pro n-t´
y ˇ
clen.
Pˇ
r´ıklad 13.1 Posloupnost vˇ
sech ˇ
c´ısel dˇ
eliteln´
ych tˇ
remi zapiˇ
ste v´
yˇ
se uveden´
ymi zp˚
usoby.
ˇ
Reˇ
sen´ı: