Matematický seminář - doc. E. Kolářová

ctˇ

ete urˇ

cit´

e integr´

aly:

a)

R 4

1 (3x − 11) dx

b)

R

−2

−4

1

x dx

c)

R 3

0 |1 − 3x| dx

d)

R 1

−1

ex dx

[a)

− 21/2 b) − ln 2 c) 65/6 d) e − 1/e]

Pˇ

r´ıklad 11.13 Vypoˇ

c´ıtejte obsah rovinn´

e oblasti ohraniˇ

cen´

e parabolou y = 6x

− x

2

a

osou x.

[36]

Pˇ

r´ıklad 11.14 Najdˇ

ete stˇ

redn´ı hodnotu funkce na dan´

em intervalu.

a) f (x) = x(1

− x) na < 0, 1 >

b) f (x) = 2x

− 1 na < −3, 2 >

c) f (x) = sin x na < 0, π >

[a)1/6 b)

− 2 c)2/π]

Matematick´

y semin´

aˇ

r

86

12

Komplexn´ı ˇ

c´ısla

12.1

Algebraick´

y tvar komplexn´ıho ˇ

c´ısla

Komplexn´ı ˇ

c´ıslo je ˇ

c´ıslo z = a + ib, kde a, b jsou re´

aln´

a ˇ

c´ısla a i2 =

−1. V´yraz je

jednoznaˇ

cnˇ

e urˇ

cen uspoˇr´

adanou dvojic´ı [a;b], kde a, b jsou re´

aln´

a ˇ

c´ısla.

Pro komplexn´ı ˇ

c´ısla se daj´ı operace sˇ

c´ıt´

an´ı a n´

asoben´ı definovat takto:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),

(a + ib)

· (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc),

kde a + ib a c + id jsou libovoln´

a komplexn´ı ˇ

c´ısla.

Sˇ

c´ıt´

an´ı a n´

asoben´ı komplexn´ıch ˇ

c´ısel jsou operace asociativn´ı a komutativn´ı. N´

asoben´ı je

distributivn´ı vzhledem ke sˇ

c´ıt´

an´ı.

Pˇ

r´ıklad 12.1 Vypoˇ

c´ıtejte souˇ

cin (2 + i)(3 + i).

ˇ

Reˇ

sen´ı:

(2 + i)(3 + i) = 6 + 3i + 2i

− 1 = (6 − 1) + i(3 + 2) = 5 + 5i

Z´

apis z = a + ib naz´

yv´

ame algebraick´

ym tvarem komplexn´ıho ˇ

c´ısla.

Re´

aln´

e ˇ

c´ıslo a naz´

yv´

ame re´

alnou ˇ

c´

ast´ı z.

Re´

aln´

e ˇ

c´ıslo b naz´

yv´

ame imagin´

arn´ı ˇ

c´

ast´ı z:

z = a + ib, a = Re z, b = Im z.

ˇ

C´ıslo z = a

− ib naz´yv´ame komplexnˇe sdruˇzen´

ym ˇ