Matematický seminář - doc. E. Kolářová

Pˇ

r´ıklad 12.8 Vyj´

adˇ

rete v algebraick´

em tvaru komplexn´ı ˇ

c´ısla:

a) (i10

− i

12 − 4i15) : (i5 − i3)

b)

2 + i

3

− i

+ (i

− 2)(4 − i)

c) (

i

− 1

i

+

2i

i

− 1

)(2i

− 3) − (i − 1)i

[a) 2 + i; b)

− 13/2 + 13i/2; c) − 5 + 5i]

Pˇ

r´ıklad 12.9 Pˇ

resvedˇ

cte se, ˇ

ze

1

1

1

−i −

i

−

1

1

1+i + i

= 2i.

[Plat´ı]

Pˇ

r´ıklad 12.10 Najdˇ

ete dvojici komplexn´ıch ˇ

c´ısel tak, aby jejich souˇ

cet byl 4 a souˇ

cin 13.

[2 + 3i, 2

− 3i]

Matematick´

y semin´

aˇ

r

90

Pˇ

r´ıklad 12.11 Urˇ

cete re´

aln´

a ˇ

c´ısla x, y pro kter´

a plat´ı:

a)

3

− 2i

1

− i

= 2x + yi

b) (x + y)(5

− 4i) + (x − y)(4 − 5i) = 94 − 68i

c)

x + 1 + (y + 3)i

5 + 3i

= 1 + i

[a) x = 5/4, y = 1/2; b) x = 9, y = 13; c) x = 1, y = 5]

Pˇ

r´ıklad 12.12 K ˇ

c´ıslu z napiˇ

ste ˇ

c´ıslo komplexnˇ

e zdruˇ

zen´

e z a vypoˇ

c´ıtejte

|z| :

a) z = 4

− 3i

b) z =

1 + 2i

3

[a) 4 + 3i,

|z| = 5; b)

1

−2i

3

,

|z| =

√

5/3]

Pˇ

r´ıklad 12.13 Urˇ

cete komplexn´ı ˇ

c´ısla z, pro nˇ

eˇ

z plat´ı z = z.

[z

∈ R]

Pˇ

r´ıklad 12.14 V komplexn´ı rovinˇ

e zobrazte mnoˇ

zinu vˇ

sech komplexn´ıch ˇ

c´ısel, pro nˇ

eˇ

z

plat´ı:

a)

|1 + z| < 2

b)

|1 − i| ≥ |z| >

1
2

c) Im z < 4

Pˇ

r´ıklad 12.15 Pomoc´ı vztahu

|

z1
z2 |

= |

z1

|

|z2|

, z1, z2

∈ C vypoˇc´ıtejte absolutn´ı hodnotu kom-

plexn´ıho ˇ

c´ısla

x2

− y

2 + 2xyi

xy

√

2 + i

px4 + y4

, x, y

6= 0.

[1]

Pˇ

r´ıklad 12.16 Vyj´

adˇ

rete n´

asleduj´ıc´ı komplexn´ı ˇ

c´ısla v goniometrick´

em tvaru:

a) 1

− i

b)

− 2

c) 5i

d)

i

− 3

2 + i

e)

2

− i

3i

− 1

[a)

√

2(cos(

−π/4) + i sin(−π/4)); b) 2(cos π + i sin π);

c) 5(cos(π/2) + i sin(π/2)); d)

√

2(cos(3π/4) + i sin(3π/4);