Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
plat´ı:
Z
b
a
(cf (x) + dg(x)) dx = c
Z
b
a
f (x) dx + d
Z
b
a
g(x) dx.
Vˇ
eta o aditivnosti urˇ
cit´
eho integr´
alu.
Je-li funkce f spojit´
a na intervalu < a, b > a c
∈ (a, b), pak plat´ı
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx.
Vˇ
eta o stˇredn´ı hodnotˇ
e.
Je-li funkce f spojit´
a na intervalu < a, b >, pak existuje alespoˇ
n jeden takov´
y bod c
∈
(a, b), ˇ
ze plat´ı
Z
b
a
f (x) dx = f (c)(b
− a)
ˇ
C´ıslo f (c) =
1
b
− a
Z
b
a
f (x) dx se naz´
yv´
a stˇ
redn´ı hodnota funkce f na intervalu < a, b >
.
Pˇ
r´ıklad 11.6 Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
R 3
−1 |
x
− 1| dx.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
83
Plat´ı, ˇ
ze
f (x) =
|x − 1| = x − 1 pro x ∈< 1, ∞),
f (x) =
|x − 1| = −(x − 1) = 1 − x pro x ∈ (−∞, 1).
Proto pouˇ
zijeme vˇ
etu o aditivnosti urˇ
cit´
eho integr´
alu.
R 3
−1 |
x
− 1| dx =
R 1
−1 |
x
− 1| dx +
R 3
1 |x − 1| dx =
R 1
−1
(1
− x) dx +
R 3
1 (x − 1) dx =
[x
−
1
2 x
2]1
−1 + [
1
2 x
2 −x]3
1 = (1 −
1
2 ) − (−1 −
1
2 ) + (
1
2 9 − 3) − (
1
2 − 1) = 2 +
3
2 − (−
1
2 ) = 2 + 2 = 4
Pˇ
r´ıklad 11.7 Spoˇ
c´ıtejte stˇ
redn´ı hodnotu funkce f (x) = ex na intervalu < 0, 1 > .
ˇ
Reˇ
sen´ı:
S =
1
1
− 0
Z
1
0
e
x dx = 1[ex]1
0 = e − 1
Pˇ
r´ıklad 11.8 Vypoˇ
c´ıtejte obsah rovinn´
e oblasti ohraniˇ
cen´
e parabolou y = 4x
− x
2
a
osou x.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Parabola protne osu x v bodech x1 = 0, x2 = 4 a na intervalu (0, 4) je funkce y = 4x
− x
2
P
y = f(x)
–1
0
1
2
3
4
y
1
2
3
4
5
x
Obr´
azek 11.2: Obsah oblasti ohraniˇ
cen´
e parabolou y = 4x