Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Poloˇ
z´ıme y = cos x a dostaneme kvadratickou rovnici 2y2 + 5y
− 3 = 0.
Tato rovnice m´
a koˇ
reny y1 =
−3 a y2 =
1
2 .
Protoˇ
ze
| − 3| > 1, ˇreˇs´ıme jen rovnici cos x =
1
2 .
Funkce kosinus m´
a kladn´
e hodnoty v I. a IV. kvadrantu. Dostaneme
x =
1
3
π + 2kπ
∨
x =
5
3
π + 2kπ, k
∈ Z.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
76
Pˇ
r´ıklad 10.6 Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı ´
uhly v obloukov´
e m´ıˇ
re:
a) α = 135◦
b) α =
−75◦
c) α = 200◦
[a)
3
4 π; b) −
5
12 π; c)
10
9 π]
Pˇ
r´ıklad 10.7 Vypoˇ
c´ıtejte hodnoty goniometrick´
ych funkc´ı sin x, cos x, tg x, cotg x v
dan´
ych bodech :
a) α =
−
7
3
π
b) α =
21
4
π
c) α =
5
6
π
d) α =
−
11
4
π
[a)
−
√
3
2 ,
1
2 , −
√
3,
−
√
3
3 ; b) −
√
2
2 , −
√
2
2 , 1, 1; c)
1
2 , −
√
3
2 , −
√
3
3 , −
√
3;
d)
−
√
2
2 , −
√
2
2 , 1, 1]
Pˇ
r´ıklad 10.8 Vypoˇ
c´ıtejte hodnoty goniometrick´
ych funkc´ı sin x, cos x, tg x jestliˇ
ze plat´ı,
ˇ
ze cotg x =
−3 a x ∈ h
3
2 π; 2πi.
[
√
10
10 ,
3
√
10
10 , −
1
3 ]
Pˇ
r´ıklad 10.9 Dokaˇ
zte, ˇ
ze pro kaˇ
zd´
a dvˇ
e re´
aln´
a ˇ
c´ısla α, β plat´ı vzorce:
sin α
· cos β =
1
2 [sin(α + β) + sin(α − β)]
sin α
· sin β =
1
2 [cos(α − β) − cos(α + β)]
cos α
· cos β =
1
2 [cos(α − β) + cos(α + β)]
[postupn´
ym seˇ
cten´ım a odeˇ
cten´ım souˇ
ctov´
ych vzorc˚
u pro funkce sinus a kosinus]
Pˇ
r´ıklad 10.10 Vyˇ
reˇ
ste v R goniometrick´
e rovnice:
a) cos(x
−
π
4
) =
−
√
3
2
b) 2 cos2 x
− 3 cos x + 1 = 0
c)
sin x
√
2 + cos x
= 1
d)
√
3 tg 2x
− 4 tg x +
√
3 = 0
e) 2 sin x =
√
3 tg x
f ) sin x + cos 2x = 1
g) sin
4 x − cos4 x =
1
2
h) 1 + sin x = 2 cos2 x